1、1.绝对值三角不等式A组1.已知实数a,b满足ab|a-b|B.|a+b|a-b|C.|a-b|a|-|b|D.|a-b|a|+|b|解析:ab0,a,b异号,设a=2,b=-3,则|a+b|=|2-3|=1,|a-b|=|2-(-3)|=5,15,|a+b|nB.ma恒成立,则a的取值范围是()A.(-,3)B.(-,3C.(-,-3)D.(-,-3解析:恒成立问题,往往转化为求最值问题,本题中a|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立,即a|x+1|-|x-2|min,也就转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值问题.|x+1|-|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,-3|x+1|-
2、|x-2|3.|x+1|-|x-2|min=-3.a-3.答案:C4.函数y=|x+1|+|2-x|的最小值是()A.3B.2C.1D.0解析:y=|x+1|+|2-x|(x+1)+(2-x)|=3,ymin=3.答案:A5.若关于x的不等式|x|+|x-1|a(aR)的解集为,则a的取值范围是()A.-1,1B.(-1,1)C.(-,1D.(-,1)解析:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,若关于x的不等式|x|+|x-1|的解集为,则a的取值范围是a1.答案:C6.已知a和b是任意非零实数,则|2a+b|+|2a-b|a|的最小值为.解析:|2a+b|+|2a-b|a|2a+b+2a-
3、b|a|=4.答案:47.函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是.解析:y=|x+1|-|x-1|x+1+1-x|=2,当且仅当x1时,等号成立.答案:28.已知|x|a4,|y|a6,求证|2x-3y|a.证明:|x|a4,|y|a6,|2x|a2,|3y|a2,|2x|+|3y|a2+a2=a.|2x-3y|2x|+|3y|,|2x-3y|a.9.已知|A-a|s3,|B-b|s3,|C-c|=s3,求证|(A+B+C)-(a+b+c)|s.证明:|A-a|s3,|B-b|s3,|C-c|s3,|(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|A-a|+|B-b|
4、+|C-c|s3+s3+s3=s.|(A+B+C)-(a+b+c)|a2+a+1恒成立,则1a2+a+1,解得-1a1);|a-b|1,logx10+lgx=1lgx+lgx2,正确;当ab0时,|a-b|=|a|+|b|,不正确;ab0,ba与ab同号,ba+ab=ba+ab2,正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|1恒成立,也正确;综上正确.答案:4.已知p,q,xR,pq0,x0,则px+qx2pq.解析:当p,q至少有一个为0时,px+qx2pq;当pq0时,p,q同号,则px与qx同号,所以px+qx=|px|+qx2pq,当且仅当|px|=qx时,等号成立
5、.故px+qx2pq.答案:5.已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a0,即|x-1|+|x-5|a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|x-1+5-x|=4,当a=2时,g(x)min=4,f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.|x-1|+|x-5|-a0,ag(x)min时,f(x)的定义域为R.a0时,g(x)=ax+b在-1,1上
6、是增函数,g(-1)g(x)g(1).当-1x1时,|f(x)|1,且|c|1,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2,|g(x)|2.当a0).(1)求证f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.所以f(x)2.(2)解:f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时,f(3)=a+1a,由f(3)5得3a5+212.当0a3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)5得1+52a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.8.在平面直角坐标系xOy中,将从点
7、M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解:设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20
8、|,xR,y0,+).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.当y1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|24,(*)当且仅当x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以d1(x)24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.当0y1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d1(x)24,故d1(x)+d2(y)45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.