1、高考资源网（） 您身边的高考专家课时提升作业(二十七)指数型、对数型函数模型的应用举例(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014金昌高一检测)一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,要使剩余的物质是原来的,则需经过的年数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设经过x年,剩余的物质是原来的,令放射性物质原来总量为1,则1=,解得x=3.2.(2014武汉高一检测)下列函数关系中,可以看作是指数型函数y=kax(kR,a0且a1)模型的是()A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B.我国人口年自然
2、增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C.如果某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系D.信件的邮资与其质量间的函数关系【解析】选B.A中信号弹的高度先增加再减少不符合y=kax的变化;B中若已知人口数为m,则x年后有m(1+1%)x,符合y=kax;C,D中函数关系也不符合指数函数变化规律.3.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2010年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2010年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A.y=0.9m,xN*B.y=(1-0.0)m,xN*C.y=0.95
3、50-xm,xN*D.y=(1-0.0550-x)m,xN*【解析】选A.设北冰洋冰雪覆盖面积每年减少的百分数为t,即减少t%,则由已知得1(1-t)50=1(1-5%),即1-t=0.9,所以从2010年起,经过x年后y=m(1-t)x=m(0.9)x=0.9m.4.(2014深圳高一检测)深圳市政府早在2009年就开始着力把“互联网产业”打造成重要的新兴产业,已知某互联网企业2013年的产值为125万元,计划从2014年起平均每年比上一年增长20%,则这个企业产值首次超过200万元是在(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)()A.2017年B.2016年C.2053年D.
4、2014年【解析】选B.设x年后企业产值首次超过200万元,则125(1+20%)x200,所以1.2x1.6,两边取对数得lg1.2xlg1.6,xlg1.2lg1.6,x=2.58,故x最小取3,所以2016年企业产值首次超过200万元.【变式训练】如果在今后若干年内,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长8%的水平,那么要达到国民经济生产总值比2009年翻两番的年份大约是(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg108=2.0334,lg0.09=-1.0969)()A.2018年B.2025年C.2027年D.2028年【解析】选C.设2009年总值为a,经过x年后翻两番,则
5、a(1+8%)x=4a,所以lg(1+8%)x=lg4,所以x=18,故应选C.5.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=C.y=D.y=0.2+log16x【解题指南】利用所给函数,分别令x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论.【解析】选C.对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;对于C,x=1,
6、2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意;对于D,x=1时,y=0.2;x=2时,y=0.45;x=3时,y0.7,相差较大,不符合题意;故选C.6.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】先将污垢原量视为单位1,再把洗x次后污垢含量表示出来,列出不等式,最后解不等式求出.【解析】选B.设至少要洗x次,则,所以x3.32,因此至少要洗4次.二、填空题(每小题4分,共12分)7.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2013年产生的垃圾量为a吨.由此预测,该区下一年的垃
7、圾量为吨,2018年的垃圾量为吨.【解析】2014年的垃圾量为a(1+b)吨.2018年的垃圾量为a(1+b)2018-2013=a(1+b)5吨.答案:a(1+b)a(1+b)58.(2014天水高一检测)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,每隔五年计算机的成本降低,现在价格为8100元的计算机经过15年的价格为.【解析】由题意得计算机经过15年的价格为8100=8100=2400(元).答案:2400元9.(2014温州高一检测)某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度(J)1.610193.210194.510196.41019
8、震级(里氏)5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=algx+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg2=0.3进行计算)【解析】由记录的部分数据可知x=1.61019时y=5.0,x=3.21019时y=5.2.所以5.0=alg(1.61019)+b,5.2=alg(3.21019)+b,-得0.2=alg,0.2=alg2.所以a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环
9、境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x0).(2)当N=160时,t=5log2=5log216=20(天).(3)当t30时,5log230,解得N640,所以学习时间大于30天,他的词汇量大于640个.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014宁波高一检测)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:第x天12345被感染的计算机数量y(台)10203981160则下列函数模型中能较好地反映计
10、算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()A.y=10xB.y=5x2-5x+10C.y=52xD.y=10log2x+10【解析】选C.由监测数据可知被感染的计算机数量y随着x增大增长速度越来越快.故选指数型函数.对于y=52x,经检验x=1时y=52=10,x=2时,y=522=20,x=3时y=523=40,x=4时y=524=80,x=5时y=525=160.与表中数据基本一致.故选C.2.(2014北京高一检测)一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于()A.lgB.lgC.D.【解析】选C.由题意得a(1-8%)t
11、=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg0.92t=lg0.5,所以tlg0.92=lg0.5.故t=.【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出t的值而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.3.我国独创的视力记录法(缪氏记录法),将正常视力规定为5分,无光感规定为0,使所有视力等级连成一个完整的数字系统.5分记录法是5分减去视角的对数值表达视力,如以公式表达,则为L=5-tlg,已知近视力表最大视标的视角为100,此时=102,L=3.0,则=10-0.1时,L=()A.4.9B.5.0C.5.1D.5.2【解析】选C.由题意得3.0=5-tlg102,即3=5-2t
12、,所以t=1,故L=5-lg.所以当=10-0.1时,L=5-lg10-0.1=5-(-0.1)=5.1.4.(2014大庆高一检测)为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下图:明文密文密文明文.现在加密密钥为y=loga(x+2),如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”,问:若接受方接到的密文为“4”,则解密后得到明文为()A.12B.13C.14D.15【解题指南】审题分析出函数y=loga(x+2)的自变量及相应函数值的一组数据.【解析】选C.由加密、解密原理可知,当x=6时,y=3,从而a=2.设接受方接
13、到密文为“4”的明文为“b”,则有4=log2(b+2),从而有b=24-2=14.即解密后得到的明文为14.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份该产品的产量为万件.【解析】由题意得解得a=-2,b=2.所以y=-20.5x+2,所以当x=3时,y=-20.53+2=1.75(万件).答案:1.756.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其质量不断减少,这种现象称为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:TBq
14、)与时间t(单位:年)满足函数关系式:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量,经过年铯137的含量变为原来的.【解析】设经过t年铯137的含量变为原来的,则M0=M0,所以=2-3,故t=90.所以经过90年铯137的含量变为原来的.答案:90【变式训练】如图,开始时桶1中有a升水,如果桶1向桶2注水,桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt(n为常数,t为注水时间),那么桶2中的水就是y2=a-ae-nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时,两桶中的水相等,那么经过分钟桶1中的水只有.【解析】由于t=5时两桶中的水相等,所以ae-n5=a-ae-n5,所以(e-n)5=,即e-n
15、=.由条件可得ae-nt=,即=,所以t=15.答案:15三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014福州高一检测)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记资金y(单位:万元),销售利润x(单位:万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(1)由题意,得y=(2)x(0,10时,0.15x1.5,因为y=5.5,所以x10,所以1.5+2log5(x-9)=
16、5.5,解得x=34.答:老江的销售利润是34万元.【拓展延伸】巧记函数建模过程收集数据,画图提出假设;依托图表,理顺数量关系;抓住关键,建立函数模型;精确计算,求解数学问题;回到实际,检验问题结果.8.(2014广州高一检测)医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验,经统计,病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.天数病毒细胞的总数11223448516632764已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候,小白鼠将会死亡.如注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物
17、?(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天,已知:lg2=0.3010)【解析】(1)由题意知,病毒细胞个数y关于天数t的函数为y=2t-1.则由2t-1108两边取常用对数得(t-1)lg28,解得t27.6,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.(2)由题意知,注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为2262%,再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为2262%2x.由题意,得2262%2x108,两边取常用对数,得26lg2+lg2-2+xlg28,得x6.2,即再经过6天必须注射药物,即第二次应在第33天注射药物才能维持小白鼠的生命.- 10 - 版权所有高考资源网
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