1、第 五 章 三 角 函 数 5.1.1 任意角对比：初高中“角”的概念ABO角(高中)：射线OA绕着端点O从起始位置OA按一定方向旋转到终止位置OB，形成AOB.始边 终边 角(初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形.ABO思考1：如何刻画圆周运动中的动点位置？圆周运动是一种常见的周期性变化现象.PAO圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;1.如何刻画点P的位置变化？是什么引起点P的变化？始边OA旋转角的度数旋转方向(逆时针)终边OPP为射线OP与圆的交点思考2：如何刻画圆周运动？圆周运动是一种常见的周期性变化现象.圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;1.如何刻画点P的位
2、置变化？是什么引起点P的变化？始边OA旋转角的度数旋转方向(逆时针)终边OPP为射线OP与圆的交点2.如何描述点P逆时针旋转了一周半？射线OP逆时针旋转了540扩大角的范围 任意角3600生活中的任意角时钟慢了1小时10分钟，校准时分针要_时针旋转_顺 420 体操运动员单手侧空翻转体540体操运动员前空翻转体720主动轮逆时针旋转80被动轮顺时针旋转80旋转的方向 旋转的度数 新知1：任意角的定义正角：负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：=540，=120.一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：=60，=425.零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)ABOABO任意
3、角已知一条射线的起始位置OA：注在不引起混淆的情况下，“角”或“”可以简写成“”;角的表示：A，B，C，或，;角的“”表示旋转方向：“逆顺”(与互为相反角);角的加法：规定，把角的终边旋转角，此时终边对应的角是+.角的减法：=+()巩固：任意角的定义经过过1小时，时针旋转形成的角为30.()终边与始边重合的角是零角.()小于90的角是锐角.()练习1判断正误：顺时针旋转30，即为30始边终边重合的角可为0,360,720,-360等，即k360 小于90的角可为45，-120，0等；锐角是大于0小于90的角.新知2：象限角的定义我们通常在直角坐标系内讨论角。40 130 xy使角的顶点与原点重
4、合，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就说该角是第几象限角。如：=130的终边在第三象限，则是第三象限角.锐角是第一象限角，钝角是第二象限角.角的终边在坐标轴上，则认为此角不属于任何一个象限.练习2已知A=第一象限的角,B=锐角,C=小于90的角,则下列正确的是()A.A=B=CB.BC=AC.AC=BD.BC=CD.300,300BCA但CB 新知3：终边相同的角思考：在直角坐标系中，给定一个角，则该角对应的终边唯一确定；反之，若给定终边位置OB，则该终边对应的角唯一吗？B与45终边相同的角为_45+k360(kZ)yxo45ZkkS,360|与角终边相同的所有角组成的集合：
5、巩固：终边相同的角)(3601295012950Zkk终边相同的角为与,48129360312950,3则取k.它为第二象限角,360225|225Zkk终边相同的角的集合与.135,225,585360720有的元素适合判定为第几象限角:先将其化为终边相同且在0360内的角，再判断终边所在象限.巩固：终边相同的角例2.写出终边在y轴上的角的集合.终边在y轴正半轴的角的集合:ZkkS,360901|终边在y轴负半轴的角的集合:ZkkS,360270|2则终边在y轴上的角的集合:21SSSZnn,18090|变式1写出终边在x轴上的角的集合.Znn,180|Zkk,180290|Zkk,180)
6、12(90|变式2写出终边在直线y=x上的角的集合.Znn,18045|巩固：象限角与终边相同的角第一象限角：Zkkk,36090360|第二象限角：Zkkk,36018036090|第三象限角：Zkkk,360270360180|Zkkk,360360360270|第四象限角：练习3若角的终边在如图所示的阴影部分(包括边界)，请指出角的取值范围.Znnn,18010518030巩固：象限角与终边相同的角第一或第三象限角第一或第二象限角第二象限角第一象限角是是第一象限角，则已知练习.).(25DCBAD)36090,360(kk)18045,180(2kk第一或第二象限角的正角小于第二象限角第
7、一象限角是是锐角，则已知练习.180.).(24DCBAC)180,0(2第一象限角时302,60第三象限角时2102,420yx巩固：象限角与终边相同的角._2,._2,象限角是第则是第三象限角若象限角是第则是第一象限角若二等分._3,象限角是第则是第二象限角若逆时针标1-4 xyxy123412341 234三等分 第 五 章 三 角 函 数 5.1.2 弧度制新知引入：多样的单位制 度量长度：米、英尺、码等单位制 度量重量：千克、磅等单位制 度量角：角度、角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来度量角？度/分/秒的换算：六十进制 1度=60分 1分=60秒角度制 角度()实数
8、换算探究：角度与弧长的关系 所对圆心角之比弧长之比=60如图，对于同一圆心角=60，若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.半径rr=1r=2r=3r=4圆弧长l3602nrl180rnl)(为圆心角度数n3l32ll34lrl3333.3,60:rl则若结果探究：角度与弧长的关系 所对圆心角之比弧长之比=60如图，对于同一圆心角=45，若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.半径rr=1r=2r=3r=4圆弧长l3602nrl180rnl)(为圆心角度数n4l2l43llrl4444.4,45:rl则若结果探究：角度与弧长的关系 结论:同一圆心角所对的圆弧长l与半径r之比为同一常数.=60.3,60
9、:rl则若结果的角度数确定的常数l/r.4,45rl则若称为“的弧度数”360的弧度数为445的弧度数为_360 的弧度数为_180 的弧度数为22rrrl rrrl2.1,1的弧度数为则若rl新知1：弧度制的定义 规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad表示，读作1弧度。rrrOBA今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可略去不写，如：=1，=2即：对于圆心角，若l=r，则|=l/r=1 rad.l=3r|=l/r=3 radl=2r|=l/r=2 rad正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是0rl的弧度数角新知1：弧度制的定义 规定:长度等于半径
10、的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad表示，读作1弧度。rrrOBA即：对于圆心角，若l=r，则|=l/r=1 rad.rad360rad445rad2360 rad180:180,180得的弧度数为由已知nrlrnlrad_90 rad_30 26rad_1 180 _1 rad)180(3.57弧度与角度的换算新知2：弧度与角度的换算P174 角度()弧度(rad)06432324365 232030456090120150135180270360rad180radrad81805.225.223022)1(radrad67180210210)2(rad1801)180(rad
11、1151218012)1(2403180434)2(巩固：弧度与角度的换算P174,|Zkk,2|ZkkZkk,180Zkk,18090,2|ZkkZkk,360(3)与终边相同的角的集合(4)终边在直线y=x上的角的集合,4|ZkkZkk,18045注：角度和弧度不能混用巩固：判断角的终边所在象限;_,2)1(象限角为第则若;_,67)2(象限角为第则若 xy 900270180360Oxy/203/22O57.114.3二三;_,4)3(象限角为第则若为第三象限角4轴对称终边关于互为相反角与x,44二课外知识度量角的单位制 军事上还常用“密位制”密位6000360 2166.306.060
12、003601密位密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线“”。如：7密位：007（读作零，零七）312密位：3123000密位：3000007是风靡全球的一系列谍战电影。007不仅是影片的名称，更是主人公特工詹姆斯邦德的代号。在故事里，邦德是英国情报机构军情六处的间谍，代号007，被授予可以除去任何妨碍行动的人的权力。新知3：扇形计算公式的推导 Rl180Rnl3602RnS:n设圆心角度数为Rnl2360 2360RnSRl180n221 RSlRS21Rl218021Rn新知3：扇形计算公式的推导 Rl22 RSRRS21扇形的弧长：Rl180RnllRRS21212 3602R
13、nS:n圆心角度数为扇形的面积：面积之比弧长之比扇形圆心角之比新知3：扇形计算公式的运用.56120144,120,144:rlrl则圆心角弧度数半径已知弧长解),3600(n设扇子的圆心角为;360)1(21nnSS,618.0360)2(21nnSS若,618.0360618.1n则.138n解得新知3：扇形计算公式的运用,921202)1(lrlr且由题意得.2918或rl已知一个扇形的周长为20cm，(1)若扇形面积为9cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是多少？(2)当圆心角的弧度数是多少时，该扇形面积最大？rrlrS)220(2121)2(25)5(1022rrr.2,10,5rlcm
14、lcmr此时扇形面积最大时即当.,:圆心角弧度数为半径为弧长为设扇形面积为解rlS.29181lrlr或联立解得.16,2,2,42CSClCr时即当新知3：扇形计算公式的运用 P176-12已知相互啮(ni)合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.(1)当大轮转动1周时，小轮转动的角是_rad.(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是_cm.周小轮转动204852422048 大轮的转速为3 r/s(转/秒)151.2151.2新知3：扇形计算公式的运用 3601 转过分针 h,1204)1(转过时针 h,14404转过分针 h.32rad为.8rad为301 转过时针 hmin/30602:rad 分针的转速min/36060122:rad时针的转速ntt236030nt1172014406024.22n