1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 40404040 讲：数列求和的方法讲：数列求和的方法讲：数列求和的方法讲：数列求和的方法【考纲要求】掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式【基础知识】1、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法。2、数列常用的求和方法有五种：求和五法一公二错三分四裂五倒，最后一定要牢记，公比为 1 不为 1（1）公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的
2、平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和。（2）错位相减法：若数列nnb ci，其中 nb是等差数列，nc是等比数列，则采用错位相减法.若nnnabc=，其中 nb是等差数列，nc是公比为 q 等比数列，令1 12211nnnnnSb cb cbcb c=+则nqS=1 22 311nnnnb cb cbcb c+两式错位相减并整理即得。（3）分组求和法：有一类数列nnab+，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列,nnab是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.（4）裂项相消法：把数列的通项拆成
3、两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1nnca a+（其中 na是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：()11 11n nkknnk=+，特别地当1k=时，()11111n nnn=+（5）倒序相加法：类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数
4、列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例 1已知等比数列an中，a1=64,公比 q1,234,a a a 又分别是某等差数列的第 7 项，第 3项，第 1 项.(1)求na；(2)设 bn=log2an,求数列|bn|的前 n 项和 Tn.解：（1）依题意有 a2-a4=3(a3-a4)，即 2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即 2q2-3q+1=0.q1,q=21.故 an=64(21)n-1,(2)bn=log264(21)n-1=log227-n=7-n，|bn|=.77,77nnnn高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网n7 时，Tn=2)13
5、(nn;n7 时，Tn=T7+2)6)(7(nn=21+2)6)(7(nn，故 Tn=+).7(212)6)(7(),7(2)13(nnnnnn例 2222求 a+2aa+2aa+2aa+2a2222+3a+3a+3a+3a3333+na+na+na+nannnn.解：设 S=a+2a2+3a3+nan.若 a=0,则 S=0；若 a=1,则 S=2)1(+nn;若 a0,且 a1,则 S=a+2a2+3a3+nan,aS=a2+2a3+(n-1)an+nan+1-得（1-a）S=a+a2+an-nan+1=aaan1)1(-nan+1.S=anaaaann+1)1()1(12.【点评】（1）
6、利用错位相减法求数列的前 n 项和，要注意错位相减时，符号的改变和等比数列的项数和首项。（2）该题中有两次分类，一是关于数列是否等比的分类，一是等比数列的高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网公比是否为 1 的分类。注意逻辑分类的思想的运用，培养思维的严谨性。【变式演练 2】已知nnnaaaaxaxaxaxf,)(321221且+=成等差数列，n 为正偶数，又nfnf=)1(,)1(2，试比较)21(f与 3 的大小。例 3求数列的前 n 项和：231,71,41,1112+naaan，学科网解：设)231()71()41()11(12+=naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)2
7、3741()1111(12+=naaaSnn当 a1 时，2)13(nnnSn+=2)13(nn+当1a时，2)13(1111nnaaSnn+=2)13(11nnaaan+方法四裂项相消法使用情景类似1nnca a+（其中 na是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。解题步骤把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和。例 4已知等差数列 na满足：37a=，5726aa+=.na的前 n 项和为nS.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）求na及nS；（）令211nnba
8、=（nN+）,求数列 nb的前 n 项和nT.【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项。如11 11()(2)22nan nnn=+121 111111111111()2 1324352112nnSaaannnnnn=+=+iiiiii1 1111()2 1212nn=+为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项。【变式演练 4】求和)12)(12()2(534312222+=nnnSn例 5 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210+=+证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210+=.把式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS+=
9、又由mnnmnCC=可得高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网nnnnnnnCCCnCnS+=1103)12()12(.+得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110+=+=nnnS2)1(+=（1）证明：()()11f xfx+=；（2）求128910101010ffff+的值.【高考精选传真】1.1.1.1.【2012201220122012 高考真题辽宁理 6666】在等差数列aaaannnn中，已知 aaaa4444+aaaa8888=16=16=16=16，则该数列前 11111111 项和 SSSS11111111=(A)58(A)58(A)58(A)58
10、(B)88(B)88(B)88(B)88(C)143(C)143(C)143(C)143(D)176(D)176(D)176(D)176【解析】在等差数列中，【解析】在等差数列中，【解析】在等差数列中，【解析】在等差数列中，111111481111()16,882aaaaaas+=+=，答案为，答案为，答案为，答案为 BBBB（2012201220122012 高考真题全国大纲理 5555）已知等差数列 na的前 n 项和为55,5,15nSaS=，则数列11nna a+的前 100100100100 项和为AAAA100101BBBB 99101CCCC 99100DDDD 101100【解
11、析】由55,5,15nSaS=可得1114515 415152nadaandad+=+=11111(1)1nna an nnn+=+100111111100(1)()()1223100101101101S=+=3.3.3.3.【2012201220122012 高考真题上海理 6666】有一列正方体，棱长组成以 1111 为首项、21 为公比的等比数列，体积分别记为，nVVV21，则=+)(lim21nnVVV。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以 1111 为首项，81 为公比的等比数列，1V+2V+nV=811811n=)811(78n
12、，=+)(lim21nnVVV78。4.4.4.4.【2012201220122012 高考真题湖北理 18181818】（本小题满分 12121212 分）已知等差数列na前三项的和为 3，前三项的积为 8.（）求等差数列na的通项公式；（）若2a，3a，1a 成等比数列，求数列|na的前 n 项和.记数列|na的前 n 项和为nS.当1n=时，11|4Sa=；当2n=时，212|5Saa=+=；当3n 时，234|nnSSaaa=+5(3 37)(347)(37)n=+2(2)2(37)311510222nnnn+=+=+.当2n=时，满足此式.综上，24,1,31110,1.22nnSn
13、nn=+5555、（2012201220122012 高考真题江西理 16161616）.（本小题满分 12121212 分）已知数列aaaannnn的前 nnnn 项和21()2nSnkn kN=+,且 SSSSnnnn的最大值为 8.8.8.8.（1111）确定常数 kkkk，求 aaaannnn；（2222）求数列 922nna的前 nnnn 项和 TTTTnnnn。【解析】:（1111）当 nkN=时，212nSnkn=+取最大值，即22211822kkk=+=，故4k=，从而19(2)2nnnaSSn n=，又1172aS=，所以92nan=（1111）因为19222nnnnanb=
14、，1222123112222nnnnnnTbbb=+=+所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT+=+=高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网6666、（2012201220122012 高考真题广东理高考真题广东理高考真题广东理高考真题广东理 20202020）（本小题满分（本小题满分（本小题满分（本小题满分 12121212 分）分）分）分）在等差数列在等差数列在等差数列在等差数列 na中，中，中，中，345984,73aaaa+=（）求）求）求）求数列数列数列数列 na的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式；（）对任意）对任意）对任意）对任意
15、*mNNNN，将数列，将数列，将数列，将数列 na中落入区间中落入区间中落入区间中落入区间2(9,9)mm 内的项的个数记为内的项的个数记为内的项的个数记为内的项的个数记为 nb，求数列，求数列，求数列，求数列 nb的前的前的前的前m 项和项和项和项和mS（20202020）解）解）解）解：（）因为）因为）因为）因为 na是一个等差数列，是一个等差数列，是一个等差数列，是一个等差数列，于是于是于是于是123.mmSbbbb=+35212121(999.9)(1 99.9)9(1 81)1 91 811 9910 9180mmmmmm+=+=+=7.7.7.7.【2012201220122012
16、 高考真题天津理 18181818】（本小题满分 13131313 分）已知na是等差数列，其前 nnnn 项和为 SSSSnnnn，nb是等比数列，且27,24411=+=baba，1044=bS.（）求数列na与 nb的通项公式；（）记nnnnbababaT1211+=，*Nn，证明nnnbaT10212+=+（*Nn）.（1111）设数列na的公差为 d，数列 nb的公比为 q；则34434412732322710246210abddqSbqadq+=+=+=高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网得：31,2nnnanb=（2222）【反馈训练】1已知数列 na的前 n 项和为
17、nS，且585nnSna=，*nN(1)证明：1na 是等比数列；(2)求数列 nS的通项公式，并求出使得1nnSS+成立的最小正整数 n.2.2.2.2.设12,nC CC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，且都与直线33yx=相切，对每一个正整数 n,圆nC 都与圆1nC+相互外切，以nr 表示nC 的半径，已知 nr为递增数列.()证明：nr为等比数列；（）设 11r=，求数列 nnr的前 n 项和.3.已知数列aaaannnn满足 aaaa11110000，aaaa22222222，且对任意 mmmm、nnnnNNNN*都有 aaaa2222mmmm1111aaaa
18、2222nnnn11112222aaaammmmnnnn11112222(mmmmnnnn)2222（）求 aaaa3333，aaaa5555；（）设 bbbbnnnnaaaa2222nnnn1111aaaa2222nnnn1111(nnnnNNNN*)，证明：bbbbnnnn是等差数列；（）设 ccccnnnn(aaaan+1n+1n+1n+1aaaannnn)qqqqnnnn1111(qqqq0000，nnnnNNNN*)，求数列ccccnnnn的前 nnnn 项和 SSSSnnnn.4.已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列，nS 为 na的前 n 项和.（）求通项na 及nS
19、；（）设nnba是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前 n 项和nT.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网5.求89sin88sin3sin2sin1sin22222+的值【变式演练详细解析】【变式演练 1 详细解析】（）由题设知公差 d0，由 a11，139,a a a 成等比数列得 121d+1 812dd+，解得 d1，d0（舍去），故an的通项 an1+（n1）1n.()由（）知 2 na=2n，由等比数列前 n 项和公式得Sm=2+22+23+2n=2(1 2)1 2n=2n+1-2.可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2=，n 为
20、正偶数，3)21(SSSSnnnn，得15265n+，最小正整数 nnnn=151515152.2.2.2.nnnnnnn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn 11 nnnnn12331,sin,332r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.rrxC=+=+解：（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan=设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，故，从而，记S121n121n121n11,r12*33*3.*31*32*3.(1)*3*331 33.3*331 333*3()*3,22239139(23)*3
21、()*34224nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSn=+=+=+=+=+=则有SS,得2S那么 aaaannnn1111aaaannnn21212nnaa+2222nnnn1111高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网 822n 2222nnnn11112222nnnn于是 ccccnnnn2222nqnqnqnqnnnn1111.当 qqqq1111 时，SSSSnnnn2222444466662222nnnnnnnn(nnnn1111)当 qqqq1111 时，SSSSnnnn2222qqqq00004444qqqq11116666qqqq22222222nnnnqqqqnnnn1111.两边同乘以 qqqq，可得qSqSqSqSnnnn2222qqqq11114444qqqq22226666qqqq33332222nnnnqqqqnnnn.上述两式相减得4.【解析】高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网