1、第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是()A.两个单位向量的数量积为1B.若ab=ac,且a0,则b=cC.AB=OA+OBD.若bc,则(a+c)b=ab解析:由于bc,所以bc=0,因此(a+c)b=ab+cb=ab,故D项正确.答案:D2.设e是单位向量,AB=2e,CD=-2e,|AD|=2,则四边形ABCD一定是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由AB=2e,CD=-2e知AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又|AB|=|CD|=|
2、AD|=2,所以四边形ABCD为菱形.答案:B3.已知a=(-6,y),b=(-2,1),且a与b共线,则y等于()A.-6B.6C.3D.-3解析:由于ab,所以-61=-2y,y=3.答案:C4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90,且c=2a+3b,d=ka-4b,若cd,则实数k的值为()A.6B.-6C.3D.-3解析:因为cd,所以cd=0,即(2a+3b)(ka-4b)=2k-12=0,解得k=6.答案:A5.已知|a|=1,|b|=2,且a(a-b),则向量a与向量b的夹角是()A.30B.45C.90D.135解析:因为a(a-b),所以a(a-b)=0,即|a|2-a
3、b=0,于是1-12cos=0,cos=22,故=45.答案:B6.已知一物体在共点力F1=(lg 5,lg 2),F2=(lg 2,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则此物体在共点力的作用下所做的功为()A.lg 2B.lg 5C.2D.3解析:所做的功W=(F1+F2)s=(lg 5+lg 2,2lg 2)(2lg 5,1)=(1,2lg 2)(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.答案:C7.在ABC中,若(BC+BA)AC=|AC|2,则ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:(BC+BA)AC=(BC+BA)(B
4、C-BA)=|BC|2-|BA|2,于是|BC|2-|BA|2=|AC|2,所以|BC|2=|BA|2+|AC|2,故ABC是直角三角形.答案:C8.在ABC中,M是BC的中点,AM=1,若点P在AM上,且满足AP=2PM,则PA(PB+PC)等于()A.-49B.-43C.43D.49解析:因为AM=1,AP=2PM,所以|AP|=23.于是PA(PB+PC)=PA(2PM)=PAAP=-|AP|2=-49.答案:A9.在ABC中,AB边的高为CD,若CB=a,CA=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则AD等于()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b解
5、析:因为ab=0,所以ACB=90,于是AB=5,CD=255,所以BD=55,AD=455,即ADBD=41,所以AD=45AB=45(CB-CA)=45a-45b.答案:D10.定义:|ab|=|a|b|sin ,其中为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,ab=-6,则|ab|等于()A.-8B.8C.8或-8D.6解析:因为ab=-6,所以-6=25cos ,于是cos =-35,从而sin =45,故|ab|=|a|b|sin =2545=8.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知单位向量e1,e2的夹角为60,则|2e1-
6、e2|=.解析:|2e1-e2|=(2e1-e2)2=4|e1|2-4e1e2+|e2|2=4-412+1=3.答案:312.已知|a|=10,|b|=8,a与b的夹角为120,则向量b在向量a方向上的射影的数量等于.解析:b在a方向上的射影的数量为ab|a|=|b|cos=8cos 120=-4.答案:-413.已知a=(1,1),b=(1,0),c满足ac=0,且|a|=|c|,bc0,则c=.解析:设c=(x,y).由ac=0,得x+y=0.由|a|=|c|,得x2+y2=2.由,得x=1,y=-1或x=-1,y=1.bc0,x0,c=(1,-1).答案:(1,-1)14.在菱形ABCD
7、中,若AC=2,则CAAB=.解析:设两对角线AC与BD交于点O,则AO=OC=1,于是CAAB=2OA(OB-OA)=2OAOB-2|OA|2=0-2=-2.答案:-215.若a=(sin ,cos -2sin ),b=(1,2),且|a|=|b|,则钝角等于.解析:因为|a|=|b|,所以sin2+(cos-2sin)2=5,即sin2+cos2+4sin2-4sin cos =5,于是sin2-sin cos =1,从而-sin cos =cos2.因为是钝角,所以cos 0,于是-sin =cos ,tan =-1,故=34.答案:34三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出
8、文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知向量a=(2,0),b=(1,4).(1)求2a+3b,a-2b;(2)若向量ka+b与a+2b平行,求k的值.解:(1)a=(2,0),b=(1,4),2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),a-2b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8).(2)依题意得ka+b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4),a+2b=(2,0)+(2,8)=(4,8).向量ka+b与a+2b平行,8(2k+1)-44=0,解得k=12.17.(8分)已知向量a=(sin -cos ,2cos +s
9、in ),b=(1,2).(1)若ab,求tan 的值;(2)若ab,求的值.解:(1)由ab,得2(sin -cos )=2cos +sin ,即2sin -2cos =2cos +sin ,所以sin =4cos ,于是tan =sincos=4.(2)由ab,得sin -cos +2(2cos +sin )=0,即3sin +3cos =0,即sin +cos =0,从而tan =-1,故=k+34(kZ).18.(9分)如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EFBC.证明设AB=a,AD=b,则BD=AD-AB=b-a.ADBC,BC=AD=b
10、(R,0,且1).E为BD的中点,BE=12BD=12(b-a).F为AC的中点,BF=BC+CF=BC+12CA=BC+12(BA-BC)=12(BC+BA)=12(BC-AB)=12(b-a),EF=BF-BE=12(b-a)-12(b-a)=12-12b=112-12BC.EFBC.19.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)OC=0,求t的值.解:(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4
11、,4).所以|AB+AC|=22+62=210,|AB-AC|=42+42=42.故所求的两条对角线的长分别为210,42.(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-115.20.(10分)如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=23BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求AHHB的最小值.(1)证明设CM=mCD,CN=nCA,由题意知BN=23BM=23(BC+CM)=23(BC+mCD)=23BC+23mCD.又BN=BC+CN=BC+nCA=BC+n(CB+CD)=(1-n)BC+nCD,23=1-n,23m=n,解得m=12,n=13.CM=mCD=12CD,即M是CD的中点.(2)解:以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则由题意可设点H(-x,x),且0x1,A(-2,0),B(0,0).AH=(2-x,x),HB=(x,-x),AHHB=(2-x)x-x2=2x-2x2=-2x-122+12.又0x1,当x=1,即H与M重合时,AHHB取得最小值,且最小值为0.