1、2.3数学归纳法教学建议1.教材分析数学归纳法是一种直接证明的方法,仅适用于与正整数有关的数学命题的证明.本节通过类比多米诺骨牌游戏,得出数学归纳法的两个步骤,然后通过两个例题介绍数学归纳法的应用.重点:数学归纳法的原理及应用.难点:数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.2.主要问题及教学建议(1)关于数学归纳法所证结论的正确性.建议教师就归纳推理的几种情形介绍一下.不完全归纳:只考察了部分对象,结论不一定正确.完全归纳(枚举法):考察了问题所涉及的所有对象,结论一定正确.数学归纳法:通过有限个步骤的推理,证明了n取无限多个正整数时的情形,本质上相当于完全归纳,结论是正确的
2、.(2)对于假设的使用.建议教师通过具体例子,说明证明过程中不用假设也能证出某些题目,但不是数学归纳法证明,也就不必再按数学归纳法的步骤进行.备选习题1.证明:如果x是实数,且x-1,x0,n为大于1的自然数,那么(1+x)n1+nx.证明:(1)当n=2时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x0,所以不等式成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即(1+x)k1+kx.那么当n=k+1时,左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x),因为x-1,所以(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以当n=k+1时,不等式成立.由
3、(1)(2)及数学归纳法可知所证不等式成立.2.用数学归纳法证明62n-1+1(nN*)能被7整除.证明:(1)当n=1时,62-1+1=7,能被7整除.(2)假设当n=k(kN*,k1)时,62k-1+1能被7整除.那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1)(2)知命题成立.3.试比较2n与n2(n5,nN*)的大小.解:当n=5时,2552,即2nn2.当n=6时,2662,即2nn2;.猜想:当n5,nN*时,2nn2.下面用数学归纳法证明猜想成立:(1)当n=5时,猜想成立.(2)假设当n=k(k5,kN*)时猜想成立,即2kk2,那么,当n=k+1时,2k+1=22k2k2=k2+k2k2+(2k+1)=(k+1)2,即当n=k+1也成立.根据(1)和(2),可知当n5时,2nn2对任何nN*都成立(n5).
