1、2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1已知复数z1i，则Imz 2已知复数z满足，且|z+i|1，则z 3已知向量（2，4），（1，1），则2 4若cos（+）1，则cos 5若向量，则 6已知an为等差数列，an的前5项和S520，a56，则a10 7已知an为等比数列，首项和公比均为，则an前10项和为 8设O为坐标原点，A（2，0），B（3，4），则向量在上的投影为 9已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，若，则实数的值为 10已知数列an为等比数列，函数过定点（a1，a2），设bnlog2an，数列
2、bn的前n项和为Sn，则Sn的最大值为 11已知函数，则的值为 12已知函数f（x）sin（x）+cos（x）（0），若f（x）在（，2）内没有零点，则的取值范围是 二、选择题13若复数z满足（2+i）z4，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14已知函数f（x）2sin（x+），则“”是“f（x）为偶函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件15已知点A（，1），B（0，0）C（，0）设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（）A2BC3D16在ABC中，若BC，m0，n0，且（m21）tan2B2tanB+m21
3、0，sin2C+1n2，则（）AmnBmnCmn1Dmn2三、解答题17已知点A（1，2），B（2，2），C（2，1）（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）求ABC的面积18已知向量（m，cos2x），（sin2x，n），设函数f（x），且yf（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将yf（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数yg（x）的图象若yg（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求yg（x）的单调增区间19如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中ACB，ABC，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景
4、观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上设DEC（1）若，求DEF的边长；（2）当多大时，DEF的边长最小？并求出最小值20已知关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）（1）若一根为12i，求a，b的值；（2）若存在模为1的虚数根，求a，b满足的条件；（3）设ab2，z0是虚数根，记z0，在复平面上对应点分别为A，B，C，求的值21若数列an满足“对任意正整数i，j，ij，都存在正整数k，使得akaiaj”，则称an具有“性质P”（1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列an具有“性质P”，求首项a1的值；（3）证明：首项为2
5、的无穷等差数列an具有“性质P”的充要条件是公差d1或d2参考答案一、填空题1已知复数z1i，则Imz1解：复数z1i，Imz1，故答案为：12已知复数z满足，且|z+i|1，则z1i解：设复数za+bi（a，bR），a+bi+abi2，a1，z1+bi，|z+i|1+（b+1）i|1，b1，z1i，故答案为：1i3已知向量（2，4），（1，1），则2（5，7）解：向量（2，4），（1，1），22（2，4）（1，1）（5，7）故答案为：（5，7）4若cos（+）1，则cos解：因为cos（+）1，所以sin（+）0，所以coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin1+0故答案为：5
6、若向量，则0解：向量，可得，所以1+2+45，所以0故答案为：06已知an为等差数列，an的前5项和S520，a56，则a1011解：an为等差数列，S55a320，a34，a56，a34，2da5a3642，即d1，a10a5+5d6+511故答案为：117已知an为等比数列，首项和公比均为，则an前10项和为 解：根据题意，an为等比数列，首项和公比均为，则S10；故答案为：8设O为坐标原点，A（2，0），B（3，4），则向量在上的投影为 3解：因为 A（2，0），B（3，4），所以 ，所以 在 上的投影为 故答案为：39已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，DC上，BC3B
7、E，若，则实数的值为 解：，所以，解得 故答案为：10已知数列an为等比数列，函数过定点（a1，a2），设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，则Sn的最大值为 1解：函数过定点（a1，a2），令x20，解得x2，当x2时，y1，所以a12，a21，由于数列an为等比数列，所以公比q，所以，则bnlog2an2n，由于b11，b20，b31，.，所以Sn的最大值为：S2b1+b21故答案为：111已知函数，则的值为 2020解：根据题意，函数，则f（1x）（1x）3+1（x）3+1，故f（x）+f（1x）2，则f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）210102020；故答案为：2
8、02012已知函数f（x）sin（x）+cos（x）（0），若f（x）在（，2）内没有零点，则的取值范围是 （0，解：函数f（x）sin（x）+cos（x）sinx+cosxsin（x+）（0），当x（，2）时，x+（+，2+），f（x）在（，2）内没有零点，2+，或+且2+2，解得0，或综上可得，的取值范围是（0，故答案为：（0，二、选择题13若复数z满足（2+i）z4，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：因为（2+i）z4，所以，故复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限故选：D14已知函数f（x）2sin（x+），则“”是“f（x）为偶函数”的（
9、）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件解：当时，f（x）2sin（x+）2cosx，f（x）2cos（x）2cosxf（x），f（x）为偶函数，当f（x）为偶函数时，+k，kZ，综上所述，是f（x）为偶函数的充分不必要条件故选：A15已知点A（，1），B（0，0）C（，0）设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（）A2BC3D解：设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么故选：C16在ABC中，若BC，m0，n0，且（m21）tan2B2tanB+m210，sin2C+1n2，则（）AmnBmnCmn1Dmn2解：，即，A为三角形内角，BC，（m21）tan2
10、B2tanB+m210，（m21）（1+tan2B）2tanB0，m21+sin2B（sinB+cosB）2，sin2C+1n2，n21+sin2C（sinC+cosC）2，mn，故A选项正确，B选项错误，mn（sinB+cosB）（sinC+cosC）sinBsinC+sinBcosC+sinCcosB+cosBcosCsin（B+C）+cos（BC）2，故D选项错误，又cos（BC）cos，sin（B+C）+cos（BC），故C选项错误故选：A三、解答题17已知点A（1，2），B（2，2），C（2，1）（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）求ABC的面积解：（1）
11、因为点A（1，2），B（2，2），C（2，1），所以，则，故两条对角线的长分别为，；（2）直线BC的方程为，即3x4y+20，故点A到直线BC的距离d，又|BC|，所以ABC的面积S18已知向量（m，cos2x），（sin2x，n），设函数f（x），且yf（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将yf（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数yg（x）的图象若yg（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求yg（x）的单调增区间解：（）已知：，则：msin2x+ncos2x，yf（x）的图象过点yf（x）的图象过点（，）和点（，2）则：解得：，即：m，n1（）由（
12、）得：，f（x）向左平移个单位得到：g（x）2sin（2x+2+），设g（x）的对称轴xx0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）2，解得：，所以：g（x）2sin（2x+）2cos2x令：+2k2x2k （kZ）则：单调递增区间为：（kZ）故答案为：（）m，n1（）单调递增区间为：（kZ）19如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中ACB，ABC，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上设DEC（1）若，求DEF的边长；（2）当多大时，DEF的边长最小？并求出最小值解：（1）设DEF
13、的边长为x千米，由 得CE，AEa，AEF中，FEA，AEF为等边三角形，AExa，故x，即DEF的边长为；（2）设DEF的边长为x千米，所以CExcos，AEaxcos，AEF中，FEA，A，EFA，由正弦定理得，故x，当时x取得最小值，即DEF的边长最小值20已知关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）（1）若一根为12i，求a，b的值；（2）若存在模为1的虚数根，求a，b满足的条件；（3）设ab2，z0是虚数根，记z0，在复平面上对应点分别为A，B，C，求的值解：（1）若一根为12i，则（12i）2+a（12i）+b0，a+b3（2a+4）i0，（2）设模为1的虚数根为m+
14、ni（m，nR且n0），则（m+ni）2+a（m+ni）+b0，m2n2+am+b+（2mn+an）i0，b1，a2m，m2+n21，m（1，1），a2m（2，2），b1（3）若ab2，则实系数一元二次方程为x2+2x+20，x1i，若z01+i，2i，1+3i，A（1，1），B（0，2），C（1，3），132，若z01i，2i，13i，A（1，1），B（0，2），C（1，3），132，综上，13221若数列an满足“对任意正整数i，j，ij，都存在正整数k，使得akaiaj”，则称an具有“性质P”（1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列a
15、n具有“性质P”，求首项a1的值；（3）证明：首项为2的无穷等差数列an具有“性质P”的充要条件是公差d1或d2【解答】（1）解：若数列an具有“性质P”，“对任意正整数i，j，ij，都存在正整数k，使得akaiaj”，所以aa2，所以a0或1，故当a0或1时，各项均等于a的常数列具有“性质P”；当a0且a1时，各项均等于a的常数列不具有“性质P”（2）解：对任意正整数i，j，ij，都存在正整数k，使得akaiaj，即a12k1a12i1a12j1，所以a12k+1ij，令k+1ijmZ，则a12m，当m1且mZ时，ana12n12m+n1，对任意正整数i，j，ij，由akaiaj，得2m+k
16、12m+i12m+j1，所以ki+j+m1，而i+j+m1是正整数，所以存在正整数ki+j+m1，使得akaiaj成立，数列具有“性质P”；当m2且mZ时，取i1，j2，则i+j+m12+m0，正整数k不存在，数列不具有“性质P”，综上所述，a12m，m1且mZ（3）证明：若首项为2的无穷等差数列an具有“性质P”，则an2+（n1）d且an具有“性质P”，所以对于任意的正整数n，存在整数k，使得aka1an成立，则d，对于任意的正整数n，存在整数k1和k2，使得a1an，a2an，两式相减得，dan（k2k1）d，若d0，则an各项均为2，由（1）可判断不合题意，若d0，得ank2k1，是整
17、数，从而得到公差d也是整数，若d0，则此数列是递减的等差数列，取满足的正整数m，解得，由amam+1a1，所以不存在正整数k使得amam+1ak成立，从而d0不成立；d是整数且d，当k2n+1时，d；当k2n时，d，即d1或d2，首项为2的无穷等差数列an具有“性质P”的必要条件是公差d1或d2当d1时，数列2，3，4，.，n+1，.，对任意的正整数i，j，ij，由akaiaj，可得k+1（i+1）（j+1），可得ki+j+ij，而i+j+ij是正整数，从而数列具有“性质P”；当d2时，数列2，4，6，.，2n，.，对任意正整数i，j，由akaiaj，可得2k2i2j，即k2ij，而2ij是正整数，从而数列具有“性质P”，首项为2的无穷等差数列an具有“性质P”的充分条件是公差d1或d2综上可得，首项为2的无穷等差数列an具有“性质P”的充要条件是公差d1或d2
