1、模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1.已知 a,b 都是实数,那么“a3b3”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为 a3b3,所以 a3-b30,即(a-b)(a2+ab+b2)0.又因为 a2+ab+b2=()0,所以 a-b0,即 ab,反之也成立,故选 C.答案:C2.一长方体的长、宽、高分别为 a,b,c 且 a+b+c=9,当长方体体积最大时,长方体的表面积为()A.27B.54C.52D.56解析:9=a+b+c3 ,abc27,当且仅当 a=b=c=3
2、时取最大值 27,此时其表面积为 632=54.答案:B3.若集合 A=x|2x-1|3,B=|-,则 AB 是()A.|-B.x|2x3C.|-D.|-解析:A=x|2x-1|3=x|-32x-13=x|-1x0=|-,AB=|-.答案:D4.如果实数 x,y 满足|tan x|+|tan y|tan x+tan y|,且 y(),则|tan x-tan y|等于()A.tan x-tan yB.tan y-tan xC.tan x+tan yD.|tan y|-|tan x|解析:由|tan x|+|tan y|tan x+tan y|,知 tan x 与 tan y 异号,又 y(),t
3、an y0,tan x0 得 32x-(k+1)3x+20,解得 k+12,k+12,即 kbc2;a2b2.其中能分别成为 ab 的充分条件的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:ac2bc2ab,而 ab 不能推出 ac2bc2,故 ac2bc2是 ab 的充分条件;不能推出 ab,故不符合题意;a2b2不能推出 ab,也不符合题意,综上所述只有符合题意.答案:B7.设 mn,nN+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,x1,则 a 与 b 的大小关系为()A.abB.abC.与 x 值有关,大小不确定D.以上都不正确解析:a-b=lgmx+lg-
4、mx-lgnx-lg-nx=(lgmx-lgnx)-(-)=(lgmx-lgnx)-=(lgmx-lgnx)(-)=(lgmx-lgnx)(-).x1,lg x0.当 0lg xb;当 lg x=1 时,a=b;当 lg x1 时,ab.故选 A.答案:A8.用数学归纳法证恒等式 1-+-+(nN+)时,由 n=k 到 n=k+1时,两边应同时加上()A.B.-C.D.解析:左边含变量 -,因此 n=k+1 时,应再加上 .当 n=k+1 时,右边应加上 .答案:D9.已知 A,B,C 是 ABC 的三内角的弧度数,则 与 的大小关系为()A.B.C.D.解析:由柯西不等式,得()(A+B+C
5、)()=9.又A+B+C=,.当且仅当 A=B=C=时,等号成立.答案:A10.记满足下列条件的函数 f(x)的集合为 M,当|x1|1,|x2|1 时,|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.令 g(x)=x2+2x-1,则 g(x)与 M 的关系是()A.g(x)MB.g(x)MC.g(x)MD.不能确定解析:g(x1)-g(x2)=+2x1-2x2=(x1-x2)(x1+x2+2),所以|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|x1+x2+2|x1-x2|(|x1|+|x2|+2)4|x1-x2|,所以 g(x)M.答案:B二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)11.已知存在实数
6、 x,使得不等式|x-3|-|x+2|3a-1|成立,则实数 a 的取值范围是 .解析:|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=5,|3a-1|5,-a2.答案:-12.已知 a,b 为正数,且直线 2x-(b-3)y+6=0 与直线 bx+ay-5=0 互相垂直,则 2a+3b 的最小值为 .解析:由两直线垂直,得 2b-a(b-3)=0,b=-,2a+3b=2a+-=2a+-=2(a-2)+-+132 -+13=25,当且仅当 a=5,b=5 时,等号成立.答案:2513.建造一个容积为 8m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为每平方米 120 元,池壁的造价为每平
7、方米 80 元,则这个水池的最低造价是 元.解析:设水池的造价为 y 元,池底的长为 x m,则宽为 m,y=4120+2()80=480+320()480+3202=1760.当且仅当 x=,即 x=2 时取“=”号,则 ymin=1760.答案:176014.设数列an满足 a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明 an=42n-1-2 的第二步中,设当 n=k 时结论成立,即 ak=42k-1-2,那么当 n=k+1 时,.解析:当 n=k+1 时,把 ak=42k-1-2 代入 ak+1=2ak+2 中,得 ak+1=42k-2,要将 ak+1=42k-2 变形为ak+1=42
8、(k+1)-1-2 的形式.答案:ak+1=42(k+1)-1-215.设 x0.由题意,知 a 恒成立,则 a 必须大于或等于 的最大值.而()=1+2,当且仅当 x=y 时,等号成立,的最大值为,故 a,即 a 的最小值是.方法二:()()=1,令 =cos,=sin(),则 =cos+sin=sin()(当且仅当 时 取等号),即 的最大值为.又由已知,得 a 恒成立,a,即 a 的最小值为.答案:三、解答题(共 75 分)16.(12 分)解不等式|x+3|+|x-3|8.解:当 x8,即 x-4,此时不等式的解集为x|x-4;当-3x8,此时无解;当 x3 时,x+3+x-38,即
9、x4,此时,不等式的解集为x|x4.综上,原不等式的解集为x|x4.17.(12 分)设 a,b,c 为正数.求证:2().证明:由对称性,不妨设 abc0.于是 a+ba+cb+c,故 a2b2c2,.由排序原理知:,将上面两个同向不等式相加,得2().18.(12 分)已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1.(1)求证:;(2)求 4x+4y+的最小值.(1)证明:x0,y0,z0,由柯西不等式,得(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)()(x+y+z)2.x+y+z=1,.(2)解:由平均值不等式,得4x+4y+3 .x+y+z=1,x+y+z2=1-z+z2=(-).故 4x+4
10、y+3 =3,当且仅当 x=y=,z=时等号成立.4x+4y+的最小值为 3.19.(13 分)一变压器的铁芯截面为正十字形,如图,为保证所需的磁通量,要求十字形应具有 4 cm2的面积,问应如何设计十字形宽 x 及长 y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最省.解:设 y=x+2h,由条件知,x2+4xh=4,h=-.设外接圆的半径为 R,即求 R 的最小值.4R2=x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2),2R2=x2+-x2+(0 x1 都有 an=-(xR,yR,且|x|y|0).(1)求 a2,a3,a4;(2)猜想数列an的一个通项公式,并用数学归纳法证明.
11、解:(1)a2=,a3=(),a4=().(2)猜想 an=(xn-1+xn-2y+xn-3y2+xyn-2+yn-1)=-(-)-(nN+).通项公式 an=-(nN+).证明如下:当 n=1 时,a1=,又 a1=-,则猜想的公式成立.假设当 n=k(k1,kN+)时,ak=-成立.对 n=k+1,ak+1=-=-,当 n=k+1 时,公式成立.由上可知,对一切 nN+,公式成立.21.(13 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像与 x 轴有两个不同的公共点,若 f(c)=0,且0 x0.(1)试比较 与 c 的大小;(2)证明:-2b1,t0 时,求证:0.(1)解
12、:f(x)=0 的图像与 x 轴有两个不同的交点,方程 f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2.f(c)=0,c 是方程 f(x)=0 的一个实根.不妨设 x1=c,由于 x1x2=,x2=.假设 0,据 0 x0,得 f()0,这与 f()=0 矛盾,c.(2)证明:f(c)=0,ac+b+1=0,b=-1-ac.又 a0,c0,bc,得 x2x1),即-.又 a0,b-2.-2b0,要证不等式成立,只要证明 g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c0.c10,f(1)0,即 a+b+c0.又-2bb+2c0.二次函数 g(t)的对称轴-0 时,g(t)g(0)=2c0.即原不等式成立.