1、模块综合检测(时间:120 分钟 满分:150 分)知识点分布表 知识点 不等式的性质及应用 与三角形面积有关的问题 数列的有关计算及性质 三角形中的有关计算 等比数列前 n 项和 线性规划 等差数列前 n 项和 基本不等式 判断三角形的形状 综合与实际应用 相应题号 1 2 3,10 4 5,12 6 7,14,15 8,11,13 9 16,17,18,19,20,21,22 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2015 江西吉安联考,1)若 a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是()A.B.C.a2b2D.a|c|b|c|答案:B解析:A.当 1-2
2、时,1b,故 B 正确.C.当 1-2 时,14 不成立,a2b2不成立.D.当 c=0 时,0=a|c|b|c|=0,不成立.故选 B.2.在ABC 中,A=60,AB=2,且ABC 的面积为 ,则 BC 的长为()A.B.3C.D.7答案:A解析:S=ABACsin 60=2 AC=,所以 AC=1.所以 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 60=3.所以 BC=,故选 A.3.若 5,x,y,z,21 成等差数列,则 x+y+z 的值为()A.26B.29C.39D.52答案:C解析:因为 5,x,y,z,21 构成等差数列,所以 y 是 x,z 的等差中项,也是 5,21 的等差
3、中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以 y=13,x+z=26,所以 x+y+z=39.4.在ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,则 等于()A.1B.C.2D.答案:C解析:利用正弦定理,将 bcos C+ccos B=2b 化为 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即 sin(B+C)=2sin B.sin(B+C)=sin A,sin A=2sin B.利用正弦定理可得 a=2b,故 =2.5.已知数列an满足 3an+1+an=0,a2=-,则an的前 10 项和等于()A.-6(1-3-10)B
4、.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:由 3an+1+an=0,得 =-.所以an是以 q=-为公比的等比数列.所以 a1=a2 =-(-3)=4.所以 S10=-(-)=3(1-3-10),故选 C.6.(2015 河北邯郸三校联考,6)设变量 x,y 满足约束条件 -则目标函数 z=3x-y 的最大值为()A.-4B.0C.D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为 y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 最大,最大值为 6-2=4.故选 D.7.已知等差数列an满足,a10,5
5、a8=8a13,则前 n 项和 Sn取最大值时,n 的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由 5a8=8a13得 5(a1+7d)=8(a1+12d)d=-a1,由 an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-)0n =21 ,所以数列an前 21 项都是正数,以后各项都是负数,故 Sn取最大值时,n 的值为 21,选 B.8.(2015 福建宁德五校联考,8)已知正实数 a,b 满足 =1,x=a+b,则实数 x 的取值范围是()A.6,+)B.(2,+)C.4,+)D.3+2,+)答案:D解析:=1,x=a+b=(a+b)()=2+1+3+2(当且仅当 即 时 等号成立
6、 ).故选 D.9.(2015 河南南阳高二期中,7)在ABC 中,若 tan Atan B1,则ABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为 A 和 B 都为三角形中的内角,由 tan Atan B1,得到 1-tan Atan B0,tan B0,即 A,B 为锐角,所以 tan(A+B)=-0,则 A+B(),即 C 为锐角,所以ABC 是锐角三角形.10.(2015 山东潍坊四县联考,10)已知数列an中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,nN*,则 a11=()A.36B.38C.40D.42答案:D解析:因为 nan+1=(n+1)
7、an+2,nN*,所以在等式的两边同时除以 n(n+1),得 =2(-).所以 +2(-)(-)(-).所以 a11=42.故选 D.11.(2015 陕西高考,10)设 f(x)=ln x,0ab,若 p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpC.p=rq答案:C解析:f(x)=ln x,p=f()=ln (ln a+ln b)=r.又0aln ,即 qr,综上 p=r4,函数 y=x+-,当 x=时,函数有最小值为 .答案:5 6解析:x4,x-40.y=x+-=x-4+-+42 -+4=6.当且仅当 x-4=-即 x=5 时等号成立.14.(
8、2015 山东潍坊四县联考,12)等差数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 -,则 =.答案:解析:-.15.设数列an满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,),则 a2 015=.答案:8 057解析:由 an=an-1+an-2-an-3,得 an+1=an+an-1-an-2,两式作和得:an+1=2an-1-an-3,即 an+1+an-3=2an-1(n=4,5,).数列an的奇数项和偶数项均构成等差数列.a1=1,a3=9,奇数项构成的等差数列的公差为 8.则 a2 015=a1+8(1 008-1)=1+81 007=8
9、 057.故答案为 8 057.16.(2015 福建宁德五校联考,16)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,有下列结论:若 AB,则 sin Asin B;若 c2B,则 ab,由正弦定理得 sin Asin B,命题正确;对于,若 c20,说明 C 为锐角,但 A,B 不一定为锐角,ABC 不一定是锐角三角形,命题错误;对于,若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B,即 sin A+sinC=2sin(A+C),命题正确;对于,若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac,则 cos B=-,命题正确.三、解答题
10、(1720 小题及 22 小题每小题 12 分,21 小题 10 分,共 70 分)17.(2015 福建厦门高二期末,17)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=4,cos B=.(1)若 b=3,求 sin A 的值;(2)若ABC 的面积为 12,求 b 的值.解:(1)cos B=,0B,sin B=-.由正弦定理可得:.又 a=4,b=3,sin A=.(2)由面积公式,得 SABC=acsin B,ac =12,可解得 c=10.由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B=52,解得 b=2 .18.(2015 河北邯郸三校联考,18)数列an中,
11、a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,),且 a1,a2,a3成公比不为 1 的等比数列.(1)求 c 的值;(2)求an的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为 a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得 c=0 或 c=2.当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故 c=2.(2)当 n2 时,由于 a2-a1=c,a3-a2=2c,an-an-1=(n-1)c,所以 an-a1=1+2+(n-1)c=-c.又 a1=2,c=2,故 an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,).当 n=1 时,上式
12、也成立.所以 an=n2-n+2(n=1,2,).19.(2015 河南南阳高二期中,19)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A,B,C 成等差数列,ABC 的面积为.(1)求证:a,2,c 成等比数列;(2)求ABC 的周长 L 的最小值,并说明此时ABC 的形状.(1)证明:A,B,C 成等差数列,B=60.又ABC 的面积为,acsin 60=,即 ac=4.ac=22,a,2,c 成等比数列.(2)解:在ABC 中,根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos 60=a2+c2-ac2ac-ac=ac=4,b2,当且仅当 a=c 时,等号成立.ABC 的周
13、长 L=a+b+c2 +b=4+b,当且仅当 a=c 时,等号成立.L4+2=6,当且仅当 a=c 时,等号成立.ABC 周长的最小值为 6.a=c,B=60,此时ABC 为等边三角形.20.(2015 福建宁德五校联考,22)已知 f(x)=x2-abx+2a2.(1)当 b=3 时,若不等式 f(x)0 的解集为1,2,求实数 a 的值;求不等式 f(x)0 在 a1,2上恒成立,求实数 b 的取值范围.解:(1)当 b=3 时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,不等式 f(x)0 的解集为1,2,1,2 是方程 x2-3ax+2a2=0 的两根.解得 a=1.x2-3
14、ax+2a20,(x-a)(x-2a)0 时,此不等式的解集为(a,2a),当 a=0 时,此不等式的解集为空集,当 a0 在 a1,2上恒成立,即 ba+在 a1,2上恒成立.又 a+2 =2,当且仅当 a=,即 a=时上式等号成立.b10,即 x2+10 x-2 0000,解得 x40 或 x-50(x-50 不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过 40 km/h,超过规定限速.22.(2015 河南南阳高二期中,22)已知数列an中,a1=1,a1+2a2+3a3+nan=an+1(nN*).(1)求数列an的通项 an;(2)求数列n2an的前 n 项和 Tn;(3)若存在 nN
15、*,使得 an(n+1)成立,求实数 的取值范围.解:(1)因为 a1+2a2+3a3+nan=an+1(nN*),所以 a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=an(n2).两式相减得 nan=an+1-an,所以 =3(n2).因此数列nan从第二项起,是以 2 为首项,以 3 为公比的等比数列,所以 nan=23n-2(n2).故 an=-(2)由(1)可知当 n2 时,n2an=2n3n-2,当 n2 时,Tn=1+430+631+2n3n-2,3Tn=3+431+2(n-1)3n-2+2n3n-1.两式相减得 Tn=(-)3n-1(n2).又T1=a1=1 也满足上式,Tn=(-)3n-1.(3)an(n+1)等价于 ,由(1)可知当 n2 时,-,设 f(n)=-(n2,nN*),则 f(n+1)-f(n)=-0,.又 及 ,所求实数 的取值范围为 .