1、矩阵选讲(习题课)解答题(本大题共10小题，每小题10分，共100分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)1(2012年高考江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值解析：因为A1AE，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.2设数列an、bn满足an12an3bnbn12bn，且满足M，求二阶矩阵M.解析：依题设有 ，令A，则MA4，A2 .MA4(A2)2 .3(2012年福州质检)已知矩阵T，O是坐标原点，点A(1，0)在矩阵T的变换下得到点P.设b0，当POA的面积为，POA时，求a，b的值解析：
2、 ，p(a，b)，又b0，POA，SAOP1sin ，又SOPA1b，a2，b2.4已知矩阵M，N.在平面直角坐标系中，设直线2xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程解析：由题设得MN ，设(x，y)是直线2xy10上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x，y)，则有 ，即，所以因为点(x，y)在直线2xy10上，从而2x(y)10，即2xy10，所以曲线F的方程为2xy10.5已知二阶矩阵A有特征值13及其对应的一个特征向量1，特征值21及其对应的一个特征向量2，求矩阵A的逆矩阵A1.解析：设二阶矩阵A，则有 3，且 ，即且解得a1，b2，c2，d1.
3、A，从而A1.6已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵A.解析：由特征值、特征向量定义可知，A111，即 1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A.7已知二阶矩阵M有特征值3及对应的一个特征向量e，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(9，15)求矩阵M.解析：设M，则 3，故. ，故.联立以上两方程组解得a1，b4，c3，d6，故M.8已知矩阵A，向量.(1)求A的特征值1，2和特征向量1，2；(2)计算A5的值解析：(1)矩阵A的特征多项式为f()256，由f()0解得12，23.当12时，解得1，当23时，解得2.
4、(2)由m 1n 2得，解得m3，n1.则A5A5(312)3(A51)A523()232535.9(2012年高考福建卷)设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解析：(1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由 ，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2 .所以|A2|1，(A2)1.10已知矩阵M的两个特征值分别为11和24.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x2y30的矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程解析：(1)矩阵M的特征多项式为f()，f()(2)(b)2a2(b2)2b2a，由已知11，24为f()0的两根，解得(2)由(1)知M.设直线x2y30上任意一点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是(x，y)，由 ，得解得代入x2y30得230，即5x7y120，于是点(x，y)必在直线5x7y120上由(x，y)的任意性可知，直线x2y30在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为5x7y120.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
