1、2021年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|x|，Bx|0xa，若AB，则实数a的范围是（）A（0，1）B（0，1C（1，+）D1，+）2设复数z满足|z|zi|1，且z的实部大于虚部，则z（）ABCD3“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）Am（，1）（1，+）Bm（，2）（1，+）Cm（，2）Dm（1，+）42021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门
2、科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A甲的物理成绩领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5已知，则cos2（）ABCD06（ax）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a（）A4B3C2D17已知函数（0，0）的部分图象如图所示，则（）AB1C2D8某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：体积可能是；体积可能是；AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为；在该几何体的面中，互相平行
3、的面可能有四对其中所有正确结论的编号是（）ABCD9若2a5bzc，且，则z的值可能为（）ABC7D1010如图，A，B，C是半径为1的圆周上的点，且，则图中阴影区域的面积为（）ABCD11某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）A126B360C600D63012已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD二、填空
4、题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知an为等差数列，且3a52a7，则a1 14已知向量，满足，若，则在方向上的投影为 15在平面直角坐标系xOy中，P是曲线（x0）上的一个动点，则点P到直线yx的距离的最小值是 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考
5、题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an满足a12，an+12an+4（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的通项公式并加以证明；（3）求数列|an|的前n项和Sn18如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：ADCD；（2）已知CDPD4，ABAD3，ADP90在棱AB上是否存在一点E，使得平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由19人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5为非常优秀，测试值在区间（5，10为优秀某班50名同学都参加了听力测试
6、，将所得测试值制成如图频率分布直方图：（1）现从测试值在区间（0，10内的同学中任意抽取4人，其中听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列）记Y|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y2的概率20已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，P是抛物线C
7、上一点，且满足（1）求抛物线C的方程；（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|15，线段AB的中点M在直线x1上（）求直线l的方程；（）证明：，成等差数列，并求该数列的公差21已知函数f（x）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m2，对于任意x1x20，证明：（x12f（x1）x22f（x2）（x12+x22）x1x2x22（二）选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点
8、P（0，2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围23已知函数，g（x）|x1|（1）求函数yf（x）+g（x）的最小值；（2）已知0，2），求关于的不等式的解集参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|x|，Bx|0xa，若AB，则实数a的范围是（）A（0，1）B（0，1C（1，+）D1，+）解：因为集合x|0x1，又Bx|0xa，当AB，则有a1故选：D2设复数z满足|z|zi|1，且z的实部大于虚部，则z（）ABCD解：设za+bi，（a，bR），复数z满足|z|zi|1，1，1，即x2+y21，x2+y22y0，解得y，x，
9、z的实部大于虚部，x，z+i，故选：B3“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）Am（，1）（1，+）Bm（，2）（1，+）Cm（，2）Dm（1，+）解：方程为双曲线时，（m+2）（m1）0m（，2）（1，+），（，2）（1，+）（，1）（1，+），“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为m（，1）（1，+）故选：A42021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达
10、图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A甲的物理成绩领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），C选项错，故选：C5已知，则cos2（）ABCD0解：因为，所以cos，则cos22cos212故选：B6（ax）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a（）A4B3C2D1解：（ax）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，设f（x）（ax）（x+1）6a0+a1x+a2x2+a6x6+a
11、6x7，令x1，则f（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7（a+1）（11）564（a1），令x1，则f（1）a0a1+a2a3+a4a5+a6a7（a1）（11）50；得，2（a1+a3+a5+a7）64（a1），a1+a3+a5+a732（a1）64，解得a3，故选：B7已知函数（0，0）的部分图象如图所示，则（）AB1C2D解：由f（0）0得：4cos0，又0，由图象可知，y4cos（x+）的周期为2，T2，2，故选：C8某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：体积可能是；体积可能是；AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为；在该几何体的面中，互相平行的面可能
12、有四对其中所有正确结论的编号是（）ABCD解：由三视图可画出直观图如下图：如图1，故正确；如图2，故正确；如上图，AB和CD在直观图中所对应的棱分别为EF和FG，由EFG为正三角形，可知AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为，故正确；如上图，平面ABCD平面B1C1D1，面ADD1面BCC1B1，面ABB1面DCC1D1，面AB1D1面BC1D，故正确，故选：D9若2a5bzc，且，则z的值可能为（）ABC7D10解：设2a5bzck，则alog2k，blog5k，clogzk，+logk2+logk5logk（25）logk10logkz，z10，故选：D10如图，A，B，C是半径为1的圆
13、周上的点，且，则图中阴影区域的面积为（）ABCD解：取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，因为，所以BOC，则OBCOCB，所以BC2BOcos，在ABC中，由余弦定理可得（AC+AB）23ACAB，因为，所以，解得ACAB1，所以，扇形OBC的面积为，所以图中阴影区域的面积为SABC+S扇形OBCSOBC+故选：A11某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）A126B360C600D630解：第一类，
14、上下午共安排4个活动（上午2个，下午2个）分配给甲，乙，故有A62A42360种，第二类，上下午共安排3个活动，（上午2个下午1个，或上午1个下午2个）分配给甲，乙，故有A62A41A21240第三类，上下午共安排2个活动，（上午1个，下午1个）分配给甲，乙，故有A6230种，根据分类计数原理，共有360+240+30630种故选：D12已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD解：在PF1F2中，由正弦定理知，e，即|PF1|e|PF2|，又P在椭圆上，|PF1|+|PF2|2a，联立得|PF2|（a
15、c，a+c），即aca+c，同除以a得，1e1+e，得1e1椭圆C的离心率的取值范围为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知an为等差数列，且3a52a7，则a10解：设等差数列an的公差为d，由3a52a7，得2a5+a52（a5+2d），则a54d；又a5a1+4d，所以a10故答案为：014已知向量，满足，若，则在方向上的投影为1解：，在方向上的投影为：，故答案为：115在平面直角坐标系xOy中，P是曲线（x0）上的一个动点，则点P到直线yx的距离的最小值是解：原问题可转化为曲线在点P处与直线yx平行的切线，与直线yx之间的距离，因为，所以y2x，因为在点P的切线
16、与直线yx平行，所以y2x1（x0），所以x1，将其代入曲线方程，得y1+12，即点P的坐标为（1，2），所以点P到直线yx的距离的最小值是d故答案为：16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为.解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为3，如图，在棱长为3的正四面体SABC中，取BC的中点D，连接SD，AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，则，该六面体的体积为，当该六面
17、体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球的半径，SOODSDOE，该球体积的最大值为故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an满足a12，an+12an+4（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的通项公式并加以证明；（3）求数列|an|的前n项和Sn解：（1）由已知，易得a20，a34，a412（2）猜想因为an+12an+4，所以an+1+42（an+4），则an+4是以2为首项，以2为
18、公比的等比数列，所以，所以（3）当n1时，a120，S1|a1|2；当n2时，an0，所以，又n1时满足上式所以，当nN*时，18如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：ADCD；（2）已知CDPD4，ABAD3，ADP90在棱AB上是否存在一点E，使得平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：因为BAPCDP90，所以ABAP，CDPD，又ABCD，故CDAP，又因为APPDP，AP，PD平面PAD，所CD平面PAD，又AD平面PAD，所以CDAD；（2）解：假设在棱AB上存在一点E，使得平面PAD与
19、平面PCE所成的锐二面角的余弦值为，由已知ADP90，结合（1）可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，令AEa，则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），E（3，a，0），所以，则平面PAD的法向量为，设平面PCE的法向量为，则，即，令z1，所以，故，解得a1（舍去a7），则AE1，所以19人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5为非常优秀，测试值在区间（5，10为优秀某班50名同学都参加了听力测试，将所得测试值制成如图频率分布直方图：（1）现从
20、测试值在区间（0，10内的同学中任意抽取4人，其中听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列）记Y|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y2的概率解：（1）听力等级为（0，5的有0.0165504人，听力等级为（5，10的有0.0245506人，则X的所
21、有可能取值为0，1，2，3，4，所以，所以X的分布列为：X01234P则X的数学期望为；（2）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为种，当Y0时，a11，a22，a33，a44，当Y|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|2时，a1，a2，a3，a4的取值为a11，a22，a34，a43或a11，a23，a32，a44或a12，a21，a33，a44，所以Y2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，所以20已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足（1）求抛物线C的方程；（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|15，线段AB的中点M在直线x
22、1上（）求直线l的方程；（）证明：，成等差数列，并求该数列的公差【解答】（1）解：由题可知，设点P（x0，y0），因为，即，所以，y02，故，将点P代入y22px，得4p2，又因为p0，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x；（2）（i）解：若直线l斜率不存在，则直线l：x1，此时，故直线l斜率存在，设直线l：ykx+m，联立方程组，消去y得，k2x2+（2km4）x+m20，满足（2km4）24k2m216（1km）0，即km1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，又因为线段AB的中点M在直线x1上，所以，由式与式联立可得k2，当k2时，m1，满足km1；当k2时，m1，满足k
23、m1，所以直线l的方程为y2x1或y2x+1；（ii）证明：由（i）可知，直线l与抛物线C联立方程，消去y可得4x28x+10，所以x1+x22，故，则，所以，成等差数列，又因为公差d满足，因为，所以，故数列的公差21已知函数f（x）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m2，对于任意x1x20，证明：（x12f（x1）x22f（x2）（x12+x22）x1x2x22解：（1）的定义域为（0，+），当m0时，此时f（x）在上单调递增，此时f（x）在上单调递减，当m0时，此时f（x）在上单调递增，此时f（x）在上单调递减；综上可知：当m0时，f（x）的增区间是，减区间是；当m0时，f（x）的增区间
24、是，减区间是（2）证明：由m2，由于x1x20，所以设，故：，令，则，由于t1，故，则在（1，+）上单调递增，故（t）（1）0，即：所证不等式成立（二）选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围解：（1）曲线C的极坐标方程为，整理得2+22sin23，根据，整理得x2+3y23，化简得曲线C的直角坐标方
25、程为（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：（tcos）2+3（2+tsin）23，化简得（1+2sin2）t2+12tsin+90，则，且144sin236（1+2sin2）0，2sin210，则有，则，令，有，所以|PA|+|PB|的取值范围为23已知函数，g（x）|x1|（1）求函数yf（x）+g（x）的最小值；（2）已知0，2），求关于的不等式的解集解：（1）由已知可得，当且仅当即时等号成立，所以函数yf（x）+g（x）的最小值为（2）由已知，原不等式可化为，当时，原不等式化为sincos2，此时无解，当时，原不等式化为sin+cos1，即，所以，综上所述，不等式的解集为（，）
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