1、4.3 简单线性规划的应用课时演练促提升A 组1.有 5 辆 6 吨的汽车,4 辆 4 吨的汽车,需 x 辆 6 吨汽车 y 辆 4 吨汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为()A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y答案:A2.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则 m 的值为()A.-B.C.D.或 解析:观察平面区域可知直线 y=-mx+z 与直线 AC 重合,则-m=kAC=-=-,解得 m=.答案:B3.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡
2、镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆车至少运一次,则该厂所花的最少运输费用为()A.2 000 元B.2 200 元C.2 400 元D.2 800 元解析:设需甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,由题意知,作出其可行域如图,描出阴影内部整点及部分边界整点.可知目标函数 z=400 x+300y,在点 A 处取最小值 z=4004+3002=2200(元).答案:B4.如图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界),若 C()是该目标函数 z
3、=ax-y 的最优解,则 a 的取值范围是()A.(-)B.(-)C.()D.(-)解析:最优解为 C 点,则目标函数表示的直线斜率在直线 BC 与 AC 的斜率之间.因为 kBC=-,kAC=-,所以 a(-).答案:B5.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束条件 -则 z=10 x+10y 的最大值是()A.80B.85C.90D.95解析:先画出满足约束条件的可行域,如图阴影部分所示.由 -解得 但 xN,yN,结合图知当 x=5,y=4 时,zmax=90,选 C.答案:C6.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 -则实数 m 的最大值为 .解析
4、:由约束条件作出其可行域如图:由图可知当直线 x=m 过直线 y=2x 与 x+y-3=0 的交点(1,2)时 m 取得最大值,此时 x=m=1.答案:17.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,则所需租赁费最少为 元.解析:设甲种设备需要生产 x 天,乙种设备需要生产 y 天,此时该公司所需租赁费为 z 元,则 z=200
5、 x+300y.又因为 即 画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.解 得 即点 A(4,5).由 z=200 x+300y,得直线 y=-x+过点 A(4,5)时,z=200 x+300y 取得最小值,为 2300 元.答案:2 3008.设不等式组 -表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax的图像上存在区域 D 上的点,则a 的取值范围是 .解析:画出可行域如图阴影部分,易知 a(0,1)时不合题意,故 a1.两直线 -的交点为 A(2,9).由图像可知,当 y=ax的图像经过该交点 A 时,a 取最大值,f(2)=a2=9,a=3.故 a(1,3.答案:(1,39.某养鸡场有
6、1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解:设每周需用谷物饲料 xkg,动物饲料 ykg,每周总的饲料费用为 z 元,那么 而 z=0.28x+0.9y,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线 0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点 A 时,z 最小,又直线 x+y=35000 和直线 y=x 的交点 A().即 x=,y=时,饲料费用最低.答:谷物饲
7、料和动物饲料应按 51 的比例混合,此时成本最低.10.要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:钢板类型规格类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A,B,C 三种规格的成品分别为 15,18,27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品,且使所用钢板张数最少?解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,可得 且 x,y 都是整数,求目标函数 z=x+y 取最小值时的 x,y.作可行域如图,平移直线 z=x+y 可知直线经过点(),此时 x+y=,但 与 都不是整数
8、,所以可行域内的点()不是最优解.首先在可行域内打网格,其次描出 A()附近的所有整点,接着平移直线 l:x+y=0,会发现当移至 B(3,9),C(4,8)时,即 z 取得最小值 12.故本题有两种截法:第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两种方法最少要截两种钢板共 12 张.答:截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张,或截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张时,所用钢板张数最少.B 组1.某学校用 800 元购买 A,B 两种教学用品,A 种用品每件 100 元,B 种用品每件 160 元,两种用品至少各买一件,要
9、使剩下的钱最少,A,B 两种用品应各买的件数为()A.2 件,4 件B.3 件,3 件C.4 件,2 件D.不确定解析:设买 A 种用品 x 件,B 种用品 y 件,剩下的钱为 z 元,则 求 z=800-100 x-160y 取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).答案:B2.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 ,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为()
10、A.36 万元B.31.2 万元C.30.4 万元D.24 万元解析:设投资甲为 x 万元,投资乙为 y 万元,获得利润为 z 万元,则 z=0.4x+0.6y,且 作出不等式组表示的区域,如图,作直线 l0:0.4x+0.6y=0 并将 l0向上平移到过点 A(24,36)时,z 取得最大值,即 zmax=0.424+0.636=31.2(万元),故选 B.答案:B3.已知 x,y 满足条件 (k 为常数),若目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=()A.-16B.-6C.-D.6解析:由 z=x+3y 得 y=-x+.先作出 的图像,因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所
11、以 x+3y=8 与直线 y=x 的交点为 A,解得 A(2,2),代入直线 2x+y+k=0,得 k=-6,故选 B.答案:B4.在图中的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值为()A.-3B.3C.-1D.1解析:当 a=0 时,z=x.仅在直线 x=z 过点 A(1,1)时,目标函数 z 有最小值 1,与题意不符.当 a0 时,y=-x+.斜率 k=-0,仅在直线 z=x+ay 过点 A(1,1)时,直线在 y 轴的截距最小,此时 z 也最小,与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾.当 a0,为使目标函数 z 取得最小值
12、的最优解有无数个,当且仅当斜率-=kAC,即-,故 a=-3.答案:A5.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里 48 名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,那么他们合理设计租船方案后,所付租金最少为 元.船型 每只船限载人数 租金(元/只)大船 5 12 小船 3 8 解析:设租大船 x 只,小船 y 只(x,yN),则 租金 z=12x+8y,作出可行域如图,由图可知,当直线 z=12x+8y 经过点(9.6,0)时,z 取最小值,但 x,yN,故当 x=9,y=1 时,zmin=116.答案:1166.4 枝玫瑰花与 5 枝茶花的价格之和不
13、小于 22 元,而 6 枝玫瑰花与 3 枝茶花的价格之和不大于 24 元,那么 2 枝玫瑰花和 3 枝茶花价格之差绝对值的最大值是 元.解析:设每枝玫瑰花的价格为 x 元,每枝茶花的价格为 y 元,2 枝玫瑰花和 3 枝茶花的价格之差为 z 元.则约束条件为 目标函数为 z=2x-3y.作出可行域如图.当直线过点 B(0,8)时,目标函数取得最小值,即 zmin=-83=-24,故|z|的最大值为 24.答案:247.设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足 -若 z 的最大值为 12,则实数 k=.解析:作出可行域如图所示,由-得 A(4,4);由 -得 B(0,2).当 k-时,目标函数
14、z=kx+y 在点 A(4,4)处取得最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大,此时,12=4k+4,故 k=2.当 k-时,目标函数 z=kx+y 在点 B(0,2)处取得最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大,此时,120k+2,无解.综上,k=2.答案:28.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如表:a b(万吨)c(百万元)A 50%1 3 B 70%0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 (百万元).解析:
15、设购买铁矿石 A,B 分别为 x(万吨)和 y(万吨),购买铁矿石的费用为 z(百万元),则 目标函数 z=3x+6y,作出可行域如图.由 得 记 P(1,2),当目标函数 z=3x+6y 过点 P(1,2)时,z 取到最小值 15.答案:159.某人有楼房一幢,室内面积共 180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为 18 m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房间每间面积为 15 m2,可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元,装修大房间每间需要 1 000 元,装修小房间每间需要 600 元,如果此人只能筹 8 000 元用于装修,且游客能住满
16、客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益?解:设应隔出大房间 x 间和小房间 y 间,则 即 目标函数为 z=540 x+350y,作出约束条件可行域如图.根据目标函数 z=200 x+150y,作出一组平行线 200 x+150y=t,当此线经过直线 18x+15y=180 和直线 1000 x+600y=8000 的交点 C()时,目标函数取最大值为 200 x+150y=,由于()不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是它的最优解.同时经过整点(0,12)也是最优解.即应隔大房间 3 间,小房间 8 间,或者隔大房间 0 间,小房间 12 间,所获利益最大.如果考虑到不同客人的需要,应隔大房间 3 间,小房间 8 间.