1、第三章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知ab,则下列不等式a2b2,1a1a中不成立的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:取a=2,b=-4,可知3个不等式均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2-2B.x|x-4C.x|-4x-2D.x|-4x-2解析:原不等式可化为x2+6x+80,解得-4x0的解集是-,-1213,+,则ab等于()A.24B.6C.14D.-14解析:由已知得-ba=-12+13,-2a=-1213,所以a=12,b=2.所以ab=24.答案:A5.设a0,若关于x的不等式x+ax4在x
2、(0,+)恒成立,则a的最小值为()A.4B.2C.16D.1解析:由于x0,a0,所以x+ax2a.因此要使不等式恒成立,应有2a4,所以a4,即a的最小值为4.答案:A6.不等式x2-x-6x-10的解集为()A.x|x3B.x|x-2或1x3C.x|-2x3D.x|-2x1或1x0,由穿针引线法(如图)可得-2x3.答案:C7.设常数a0,若9x+a2xa+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为()A.1,+)B.12,+C.14,+D.15,+解析:9x+a2x29xa2x=6a,所以6aa+1,即a15.故选D.答案:D8.已知点P(x,y)的坐标满足条件x1,y2,2x+y-20,
3、那么x2+y2的取值范围是()A.1,4B.1,5C.45,4D.45,5解析:作出不等式组x1,y2,2x+y-20所表示的平面区域,如图中的阴影部分,显然,原点O到直线2x+y-2=0的最短距离为|-2|22+12=25,此时可得(x2+y2)min=45;点(1,2)到原点O的距离最大,为12+22=5,此时可得(x2+y2)max=5.故选D.答案:D9.不等式x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.-1,4B.(-,-25,+)C.(-,-14,+)D.-2,5解析:因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5a2-3a对任意实
4、数x恒成立,只需a2-3a4,解得-1a4,故选A.答案:A10.若变量x,y满足x+y+20,x-y+40,ya,且2x-y的最大值为-1,则a的值为()A.0B.1C.-1D.2解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令z=2x-y,则y=2x-z.因为2x-y的最大值为-1,所以2x-y=-1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线2x-y=-1经过点C时,z取得最大值,由2x-y=-1,x+y+2=0,解得x=-1,y=-1,故a=-1.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.若实数ab,则a2-abba-b2.解析:因为(a2-ab)-(b
5、a-b2)=a2-2ab+b2=(a-b)20,所以a2-abba-b2.答案:12.不等式x+x30的解集是.解析:原不等式可化为x(x2+1)0,x2+11,x0.答案:x|x013.用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应为.解析:设长为xm,宽为ym,则有2x+4y=12,即x+2y=6.需透光最好则需面积最大,即xy最大.而xy=x2y2x+2y222=92,当且仅当x=2y时,等号成立,故x=3,y=1.5.答案:3 m与1.5 m14.若函数f(x)=2x2+2ax-a-1的定义域为R,则a的取值范围是.
6、解析:依题意2x2+2ax-a-10恒成立,即x2+2ax-a0恒成立,因此=4a2+4a0,解得-1a0.答案:-1a015.若变量x,y满足2x-y0,x-3y+50,x0,则z=log2(x-y+5)的最大值为.解析:根据约束条件作出可行域如图.由z=log2(x-y+5),得2z=x-y+5,即y=x+5-2z,作直线l0:x-y=0,当直线l0过原点(0,0)时,2z最大,即2z=5,此时z最大,x=y=0时,zmax=log25.答案:log25三、解答题(本大题共4小题,共30分)16.(本小题满分7分)设(x)=16xx2+8(x0).(1)求(x)的最大值.(2)证明:对任意
7、实数a,b,恒有(a)0,即x=22时,等号成立.所以(x)的最大值为22.(2)证明:b2-3b+214=b-322+3,当b=32时,b2-3b+214有最小值3,由(1)得,(a)有最大值22.又因为223,所以对任意实数a,b都有(a)b2-3b+214.17.(本小题满分7分)一批救灾物资随26辆汽车以x km/h的速度匀速开往400 km处的地震灾区,为安全起见,每辆汽车的前后间距不得小于x202 km,问这批物资全部到达灾区,最少要用多少小时?解:设这批物资全部到达灾区需用y小时,由题意可知,y相当于最后一辆车行驶25x202+400km所用的时间,故y=25x202+400x=
8、25x202+400x225400202=10,当且仅当25x202=400x,即x=80时,等号成立.所以这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为10小时.18.(本小题满分8分)已知不等式mx2+nx-1m0的解集为xx2.(1)求m,n的值;(2)解关于x的不等式:(2a-1-x)(x+m)0,其中a是实数.解:(1)依题意得m0,即x-(2a-1)(x-1)0.当2a-11,即a1时,不等式的解为2a-1x1,即a1时,不等式的解为1x2a-1.综上,当a1时,原不等式的解集为x|2a-1x1时,原不等式的解集为x|1x2a-1.19.(本小题满分8分)某投资人
9、打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元.要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解:设投资人用x万元投资甲项目,用y万元投资乙项目,由题意知x+y10,0.3x+0.1y1.8,x0,y0.目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域.作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,zR,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M,且与直线x+0.5y=0的距离最大,这里点M是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10,0.3x+0.1y=1.8,得x=4,y=6,此时zmax=14+0.56=7(万元).故当x=4,y=6时,z取得最大值.答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
