1、课时跟踪检测（十九） 直线与圆位置关系的应用1直线 xy20截圆x2y24得到的劣弧所对的圆心角为( )A30B45C60 D90解析：选C因为圆心到直线的距离为d，圆的半径为2，所以劣弧所对的圆心角为60.2已知点A(1, 1)和圆C：(x5)2(y7)24，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )A62 B8C4 D10解析：选B因为点A关于x轴的对称点A(1，1)，A与圆心(5, 7)的距离为10.所以所求最短路程为1028.3已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是( )A3 B3C3 D解析：选A因为lAB：xy20，圆心(
2、1,0)到lAB的距离d，所以AB边上的高的最小值为1.所以(SABC)min23.4若P(x, y)在圆(x3)2(y3)26上运动，则的最大值等于( )A32 B3C32 D32解析：选A设k，则ykx.当直线ykx与圆相切时，k取最值所以，解得k32. 故的最大值为32.5由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为()A1 B2C D3解析：选C因为切线长的最小值是当直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线yx1的距离为d2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为，故选C.6如图，圆弧形拱桥的跨度AB12 m，拱高CD4 m，则拱桥的直径为_ m.解
3、析：设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，OB2OD2BD2，即r2(r4)262，解得r，所以拱桥的直径为13 m.答案：137台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为_h.解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN，可求得|MN|20，所以时间为1 h.答案：18直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，
4、则圆心到直线l1的距离为，即a21，同理可得b21，则a2b22.答案：29一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1 m后，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得2x02，即当水面下降1 m后，水面宽2 m.10.如
5、图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明：以BC中点为坐标原点，以直线BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上所以|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)1点P是直线2xy100上的动点，直线PA，PB分别与圆x2y24相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于( )A24B16 C8D4解析：选C因
6、为四边形PAOB的面积S2|PA|OA|22，所以|OP|最小时，四边形PAOB的面积最小，所以当直线OP垂直直线2xy100时，此时|OP|有最小值d2，所求四边形PAOB的面积的最小值为28.2.多选如图所示，已知直线l为yx4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为的圆C，圆心C从点开始以每秒个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间为( )A6 sB8 s C16 sD10 s解析：选AC当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为 ，解得m或m，该圆运动的时间为6(s)或16(s)3在AOB中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，点
7、P是ABO内切圆上一点，则以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为_，最小值为_解析：如图，建立直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0). 易求得ABO的内切圆半径r1，圆心(1,1)故内切圆的方程是(x1)2(y1)21.化简为x2y22x2y10，设P(x，y)，则|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25.由可知x2y22y2x1，将其代入有|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.因为x0,2，故|PA|2|PB|2|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个
8、圆面积之和为222(|PA|2|PB|2|PO|2)所以所求面积的最大值为，最小值为.答案：4.已知圆E：(x1)2y24，线段AB，CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示(1)设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；(2)求证：|OA|OB|为定值解：(1)设A(x1，y1)，代入圆E：(x1)2y24，得yx2x13，所以|OA|.(2)证明：设B(x2，y2)，同理可得|OB|，所以|OA|OB|.当x1x2时，设直线AB的方程为ykx，代入圆的方程得(k21)x22x30，所以x1x2，x1x2，代入式可得|OA|OB|3.当x1x2时，直线过原点，直线AB的
9、方程为x0，即x1x20，代入式可得|OA|OB|3.综上所述，|OA|OB|3为定值5有一种商品，A，B两地均有出售且价格相同，某居住地的居民从两地往回运时，每千米的运费A地是B地的3倍已知A，B两地相距10 km，问这个居住地的居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系|AB|10，所以A(5,0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，连接PA，PB.设从B地运往P地每千米的运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|a，则从A地运往P地的运费为|PA|3a，当运费相等时，就是|PB|a3a|PA|，即3，整理得2y22.所以在表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买
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