1、2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB 2计算： 3已知复数z满足i，i为虚数单位，则z 4已知函数yx3，则此函数的反函数是 5已知x、y满足，则zy2x的最大值为 6已知行列式，则 7某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 8已知数列an是无穷等比数列，其前n项和为Sn，若a2+a33，a3+a4，则 9在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位
2、教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）10已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为 11已知点M、N在以AB为直径的圆上若AB5，AM3，BN2，则 12已知球O是三棱锥PABC的外接球，PAABBCCA2，PB2，点D为BC的中点，且PD，则球O的体积为 二、选择题（共4小题）.13下列不等式恒成立的是（）Aa2+b22abBa2+b22abCD14若函数f（x）sinx+acosx的图象关于直线对称，则a的值为（）A1B1CD15对于函数f（n）（nN*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：
3、f（2k）0（kN*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）Af（n+1）f（n）1Bf（n+k）f（n）（kN*）Cf（n）f（n+1）+f（n）（0）Df（n+1）（+1）f（n）（0）16函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，当x0，1时，若函数g（x）f（x）xm有三个零点，则实数m的取值范围是（）ABCD三、解答题17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AB2AC2，D是AB的中点（1）若三棱柱ABCA1B1C1的体积为，求三棱柱ABCA1B1C1的高；（2）若C1C2，求二面角DB1C1A1的大小18已知函数（a为实常数）（1）讨论函数f（x）
4、的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x1，5，不等式恒成立，求实数u的最大值19某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积20已知抛物线y22px（p0），其准线方程为x+10，直线l过点T（t，0）（t0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线l倾斜
5、角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式21设数列an的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在kN*，使得am、am+k、am+2k成等比数列，则称数列an为“Dk型”数列（1）若an是“D1型”数列，且，求的值；（2）若an是“D2型”数列，且a1a2a31，a88，求an的前n项和Sn；（3）若an既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列an是等比数列参考答案一、填空题（共12小题）.1设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则ABx|0x2解：集合Ax|1x2，Bx|0x4，所以ABx|1x2x|0x4x|0x2故答案为：x|0
6、x22计算：解：故答案为：3已知复数z满足i，i为虚数单位，则z12i解：i，i，z12i故答案为：12i4已知函数yx3，则此函数的反函数是（xR）解：函数f（x）x3，反函数为（xR）故答案为：（xR）5已知x、y满足，则zy2x的最大值为1解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数zy2x为y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）z有最大值为1211故答案为：16已知行列式，则3解：12+33，3，故答案为：37某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、3
7、2号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，6+45x+32，x6+453219因此，另一学生编号为19故答案为：19号8已知数列an是无穷等比数列，其前n项和为Sn，若a2+a33，a3+a4，则8解：数列an是无穷等比数列，其前n项和为Sn，若a2+a33，a3+a4，q所以a1（）3，解得a14，Sn，则8故答案为：89在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表
8、示）解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n3481，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p故答案为：10已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为解：设M（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），c2a23，过原点O且倾斜角为60的直线方程为，联立，消去y得，即（cx0，y0）（cx0，y0）0，化简整理得，a46a230，解得，椭圆C的长轴长为故答案为：11已知点M、N在以AB为直径的圆上若AB5，AM3，BN2，则12解：连接BM，
9、BN，因为AB为直径，所以AMBANB90，又因为AB5，AM3，BN2，BM4；（）+|cosABM|cosABN422212故答案为：1212已知球O是三棱锥PABC的外接球，PAABBCCA2，PB2，点D为BC的中点，且PD，则球O的体积为解：如图，由条件可得PAB为等腰直角三角形，ABC为等边三角形，因为D为BC的中点，所以AD，由于PA2+AD2PD2，所以PAD90，PAB90，则PA底面ABC，球心O到面ABC的距离为OEAH1，AE，所以球O的半径OA，所以球的体积为V故答案为：二、选择题13下列不等式恒成立的是（）Aa2+b22abBa2+b22abCD解：对于A，当a0，
10、b0时，不等式a2+b22ab不成立，故选项A错误；对于B，因为（a+b）20，所以a2+b2+2ab0，则a2+b22ab，故选项B正确；对于C，当a0，b0时，不等式不成立，故选项C错误；对于D，当a0，b1时，不等式不成立，故选项D错误故选：B14若函数f（x）sinx+acosx的图象关于直线对称，则a的值为（）A1B1CD解：f（x）sinx+acosx（sinx+cosx），设cos，sin，则tana，即f（x）sin（x+），f（x）的图象关于直线对称，+k+，kZ，则k+，kZ，atantan（k+）tan1，故选：A15对于函数f（n）（nN*），我们可以发现f（n）有许多
11、性质，如：f（2k）0（kN*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）Af（n+1）f（n）1Bf（n+k）f（n）（kN*）Cf（n）f（n+1）+f（n）（0）Df（n+1）（+1）f（n）（0）解：当n1，2，3，4，时，f（n）的函数值为：1，0，1，0，对于A：f（2）f（1）1，故A不成立；对于B：f（n+1）f（n）不成立，故错；对于C：n为偶数，则f（n）1，f（n+1）+f（n）1；n为奇数，则f（n），f（n+1）+f（n）；C正确；对于D：f（n+1）（+1）f（n）（0）不成立，故错；故选：C16函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，当x0，1时
12、，若函数g（x）f（x）xm有三个零点，则实数m的取值范围是（）ABCD解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，当x0，1时，f（x），故当x1，0时，f（x），所以函数f（x）的图象如图g（x）f（x）xb有三个零点，即函数f（x）与函数yx+b有三个交点，当直线yx+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即x+b有2个相等的实数根，即 x2+bx10有2个相等的实数根由0求得b，数形结合可得g（x）f（x）xb有三个零点时，实数b满足b，故此式要求的b的集合为（，）再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k，4k+），kZ，故选：C三、解答题17如
13、图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AB2AC2，D是AB的中点（1）若三棱柱ABCA1B1C1的体积为，求三棱柱ABCA1B1C1的高；（2）若C1C2，求二面角DB1C1A1的大小解：（1）由ACB90，AB2AC2，得BC，由三棱柱ABCA1B1C1的体积为，得，解得CC16三棱柱ABCA1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，0），B1（0，2），C1（0，0，2），设平面C1B1D的法向量为，由，取z1，得平面A1B1C1 的法向量记二面角DB1C1A1的大小为，则cos二面角DB1C1A1的大
14、小为arccos18已知函数（a为实常数）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x1，5，不等式恒成立，求实数u的最大值解：（1）当a2时，f（1）a1，f（1）a3，故f（1）f（1），且f（1）f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a2时，f（x）+f（x）2a2a40，即f（x）f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a2，则f（x）2，由不等式f（x），可得u23x，可令3x+1t，t4，244，（因为x1，5），故u2（t1）2（t+）6，由于函数（t）2（t+）6的导数（t）2（1）0，可得（t
15、）在4，244递增，所以（t）min（4）3，因此不等式在x1，5上恒成立时，u的最大值为319某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积解：（1）如图，连结OP，设NP3a，则MN2a，OM，因为OP2PN2+ON2，则有，解得，所以此国旗的面积为（m2）；（2）设POB，则PN，OM，所以，故此国旗的面积为
16、，整理可得，其中，因为，故，所以当且仅当时，故组成的红旗图案的最大面积为（m2）20已知抛物线y22px（p0），其准线方程为x+10，直线l过点T（t，0）（t0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式解：（1）由题意可知：准线方程x1，则1，则p2，抛物线的标准方程为：y24x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为xt，代入y24x得，A（t，2），B（t，2），则t24t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k0），则l的方程为xmy+t，联立，整理得
17、：y24ky4t0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y24k，y1y24t，x1x2（my1+t）（my2+t）m2y1y2+mt（y1+y2）+t2t2x1x2+y1y2t24t，综上，的值t24t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2（xt）2+（20）2x22（t2）x+t2，（x0），由二次函数的性质可知：当对称轴xt20，即0t2时，当x0时，丨PT丨取最小值，最小值为t，当t20时，即xt2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）21设数列an的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在kN*，使得am、am+k、am+
18、2k成等比数列，则称数列an为“Dk型”数列（1）若an是“D1型”数列，且，求的值；（2）若an是“D2型”数列，且a1a2a31，a88，求an的前n项和Sn；（3）若an既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列an是等比数列解：（1）若an是“D1型”数列，可得am、am+1、am+2成等比数列，即有an为等比数列，设公比为q，q0，且，可得q2，即q，则2；（2）若an是“D2型”数列，可得am、am+2、am+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，an1；当n为偶数时，an2，当n为偶数时，前n项和Sn+21+；当n为奇数时，前n项和Sn+21；（3）证明：an既是“D2型”数列，又是“D3型”1列，可得当m4时，am3，am1，am+1，am+3成等比数列；am3，am，am+3也成等比数列从而当m4时，am2am3am+3am1am+1所以当n4时，am2am1am+1，即，即当n4时，设q当1m3时，m+34，从而由（*）式知am+32amam+6，故am+42am+1am+7，从而q2，因此q对任意n1都成立故数列an为等比数列