1、第2节 参数方程最新考纲1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.考点专项突破知识链条完善解题规范夯实知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为这条曲线的,其中变数t称为参变数,简称.参数方程参数2.直线、圆、椭圆的参数方程3.直线的参数方程的标准形式的应用(2)|M1M2|=|t1-t2|.(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.对点自测1.极坐标方程=cos 和参数方程
2、(t为参数)所表示的图形分别是()(A)直线、直线(B)直线、圆(C)圆、圆(D)圆、直线D解析:因为=cos,所以2=cos,所以x2+y2=x,即x2-x+y2=0表示圆,消t后,得3x+y+1=0,表示直线.解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,).答案:(2,)3.(2015湖北卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin-3cos)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.答案:4.如图,以过
3、原点的直线的倾斜角为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.答案:(为参数)5.给出下列命题:曲线的参数方程中的参数都有实际意义;参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的;圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义相同;普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一.其中正确的是.(写出所有正确命题的序号)解析:错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何意义,也可以没有明显的实际意义;正确.两方程互化后所表示的曲线相同;错误.圆的参数方程中的参数表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角;正确.用参数方程解决动点
4、的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同.答案:考点专项突破在讲练中理解知识参数方程与普通方程的互化考点一【例1】已知参数方程:(t0)(1)若t为常数,为参数,判断方程表示什么曲线;(2)若为常数,t为参数,方程表示什么曲线?反思归纳(1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:一是准确把握参数形式之间的关系;二是注意参数取值范围对曲线形状的影响.(2)已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.【教师备用】已知曲线C的方程y2=3x2-2x3,设y=tx,t为参数,求曲线C的参数方程.参数方程及其应用考点二(1
5、)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.反思归纳一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.解:(1)曲线C的参数方程化为普通方程为x2+(y-1)2=4.令x=cos,y=sin 代入上式,得曲线C的极坐标方程为2-2sin-3=0.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)求直线l截曲线C所得的弦长.极坐标方程与参数方程的综合应用考点三【例3】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t
6、为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin+1-a2=0.(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.反思归纳极坐标方程与参数方程综合问题的求解,一般要将其分别转化为直角坐标方程与普通方程,进而统一形式进行求解,要注意转化过程的等价性,特别是参数取值范
7、围问题.解:(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.备选例题(1)求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C的交点为A,B,求|AB|的值.(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.(1)求直线l被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.解题规范
8、夯实把典型问题的解决程序化参数方程与极坐标方程的综合应用【教师备用】审题指导满分展示:解:(1)因为圆C的方程为(x+6)2+y2=25,所以x2+y2+12x+11=0,2分因为2=x2+y2,x=cos,y=sin,所以C的极坐标方程为2+12cos+11=0.4分关键信息信息转化求圆C的极坐标方程先化直线l的参数方程为普通方程,再利用圆心到直线的距离、半径、半弦长求出直线l的斜率.解题突破:(1)利用2=x2+y2,x=cos,y=sin 化圆C的直角坐标方程为极坐标方程;(2)将直线的参数方程化为普通方程,用直角坐标系中知识解决答题模板:第一步:将圆C的标准方程化为一般方程;第二步:将圆C的直角坐标方程化为极坐标方程;第三步:将直线l的参数方程化为普通方程;第四步:由圆心到直线l的距离、半径和半弦长建立方程;第五步:解方程,求出直线l的斜率.点击进入应用能力提升