1、课时作业(六十一)一、选择题1. 某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有()A84种B98种C112种 D140种答案D解析由题意分析不同的邀请方法有：CCC11228140(种)2(2012洛阳市高三统一考试)新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为()A18 B15C12 D9答案D解析先安排高三年级，从除甲、乙、丙的3人中选2人，有C种选法；再安排高一年级，有C种方法，最后安排高二年级，有C种方法，由分步乘法计数原理，得共有C
2、CC9种安排方法3(2012海淀区期末)某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有()A72种 B54种C36种 D18种答案B解析依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有CCA36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有CC18(种)因此，满足题意的不同的分配方案有361854(种)，选B.4一生产过程有4道工序，每道工序都需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，
3、第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案有()A24种 B36种C48种 D72种答案B解析若第一道工序安排甲，则第四道工序只能安排丙，其余两道工序有A12(种)安排方案；若第一道工序安排乙，则第四道工序可以安排甲或丙，其余两道工序有A12(种)安排方案，所以有2A24(种)安排方案故共有122436(种)安排方案5在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种C96种 D144种答案C解析当A出现在第一步时，再排A，B
4、，C以外的三个程序，有A种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有AAA种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2AAA96种编排方法6(2011衡水调研)某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，19号，20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A16 B21C24 D90答案B解析要确保“5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是据分类加法计数原理，得选
5、取种数是CC61521种7记集合A1,2,3,4,5,6，Mm|m，a1，a2，a3A，将M中的元素按从小到大的顺序排列，则第70个元素是()A0.264 B0.265C0.431 D0.432答案A解析先求由1,2,3,4,5,6中的数字组成的三位数，按照从小到大的顺序排列，首位排1的数有AA36个，首位排2的数也有36个，因此第70个数应该是首位排2，从小到大排列的倒数第3个数首位排2的数的最大值是266，倒数第2个数是265，倒数第3个数是264.所以第70个元素是0.264.8(2010重庆卷，理)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人每人值班1天若7位员工中的甲、乙排
6、在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种 B960种C1008种 D1108种答案C解析依题意，满足甲、乙、两人值班安排在相邻两天的方法共有AA1440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有CAA240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法有CAA240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两 天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有CAA48种，因此满足题意的方法共有14402240481008种，选C.9从集合1,2,3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和
7、不等于11，则这样的子集共有_答案32个解析因1102938475611，选出的5个数中任何两个数的和不等于11，所以从1,10，2,9，3,8，4,7，5,6这五组数每组中选1个数则这样的子集共有：CCCCC32.10某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修4门，共有_种不同的选修方案(用数值作答)答案75解析第一类若从A、B、C三门选一门有CC60种，第二类若从其它六门选4门有C15种共有601575种不同的方法11(2012西城区一模)某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不
8、在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有_种答案6048解析依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有601248种12(2011高考调研原创题)2010年东亚运动会上，中国乒乓球男队派出王皓及5名年轻队员
9、参加比赛，团体比赛需要3名队员上场，如果最后一个出场比赛的不是王皓，则不同的出场方式有_种答案100解析若王皓不上场，则有A60种不同的出场方式；若王皓上场，则有CAA40种不同的出场方式，因此一共有100种不同的出场方式13山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2011年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)?答案216解析法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：(1)甲乙两人都单独去一个俱乐
10、部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有CA32472(种)；(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有CCA2324144(种)所以不同的安排方法一共有72144216种；法二：如果甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有CA1024240种；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有CA24种所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有2402421
11、6种14把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列(1)43251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第96项是多少？答案(1)88项(2)45321解析(1)若首位是1,2,3之一，有CA个；若首位是4，第二位为1或2，有CA个；若首位是4，第二位是3，第三位是1，有A个；若首位是4，第二位是3，第三位是2，有1个43251的前面共有CACAA187个，故43251是第88项(2)由(1)知43251为第88项首位为4，第二位为3，第三位为5，有A2个首位为4，第二位是5，有A6个因此，第96项是45321.1若把英语单词“error”中字母
12、的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20种 B19种C10种 D9种答案B解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A，error拼写错误的种数为：A119.2一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有_种选答方案答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题3为了应对金融危机，某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_答案182解析甲、乙中裁一人的方案
13、有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CCC182种4从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加2012年高考某考场的监考工作要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为()A30 B180C630 D1080答案A解析分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从5名男教师中选出两名，且该女教师只能在室内流动监考，有CC种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有CC种选法，且再从选中的两名女教师中选一名作为室内流动监考人员，即有CCC共10种选法，共有CCCCC30种，故选A.5(2010四川卷)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1
14、、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96C108 D144答案C解析从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有AA种方法，故满足题意的偶数个数有CA(AAA)108个，选C.6三个工程队要承包5项不同的工程，每队至少承包一项，问共有多少种不同的承包方案解析解法一承包方式分2类第1类三个工程队分别承包1,1,3项工程，共有CA60种承包方案第2类三个工程队分别承包2,2,1项工程，共有90种承包方案所以共有6090150种不同的承包方案解法二第一类，三个承包队中有一队承包3
15、项工程，其余两队分别承包1项工程只有CCC60种承包方案第二类，设三个工程队分别为甲、乙、丙三队，其中有一队承包一项工程，其余两队承包两项工程，共有CCC90种承包方案综上可知共有6090150种不同的承包方案教师备选资料一、两个原理混淆两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关例1某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()ACCC BCCCCAAA DC【错解】依题意，高一比赛有C场，高二比赛有C场，高三比赛有C场，由分步计数原理，得共需要进行比赛的场数为CCC，选A【剖析】结合题意，各年级之间进行的比赛是分类计数，
16、而不是分步计数【正解】依题意，高一比赛有C场，高二比赛有C场，高三比赛有C场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为CCC，选B二、排列组合混淆怎样界定排列与组合问题？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存时，一般采用先组合后排列的方法例27位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有多少种？【错解1】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学，有A种，剩下的3位同学也有A种，故共有AA720种【错解2】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C种；
17、剩下的3位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有C种又两边可以交换，故共有CA40种【剖析】本题看似排列问题，其实是组合问题【正解】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C种，则剩下三位同学的位置已定故共有C20种三、重复计数例37个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有几种？【错解1】排在排头的有除甲之外的A种情形，排在排尾的也有除乙之外的A种情形，两端排好后余下的排中间有A种情形，所以不同的排法有AAA4320种【错解2】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有A种排法，余下的人排中间有A种排法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有AA种；
18、又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有A种，因此不同的排法共有AA2A3840种【剖析】对于错解1中排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5A种情形对于错解2中甲在排尾且乙在排头已包含在甲在排尾或乙在排头的情形中，因此重复计算了A种排法【正解1】在错解1中，减去重复数，应为AAA5A3720种排法【正解2】在错解2中，减去重复数，应为AA2AA3720种排法四、遗漏计数例4A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的站法有()A24种B60种C90种 D120种【错解】把A、B“捆绑”为一个元素(B在A的右边)，与C、D、E一起全排列，有A2
19、4种站法，故选A.【剖析】审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解【正解1】按A的位置分为四类：A排第一、二、三、四位时的排法数分别是A、3A、2A、A，所以共有A3A2AA60种排法，选B.【正解2】利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的)，故有60种，选B.例5教委派5名教研员到3所学校去调研学生课业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的选派方法？【解】先分组，再分配先把5个人分成3组，有两种分法：一组3人，另两组各1人，有种分法；一组1人另两组各2人，有种分法再分配到三所学校去有A种分法共有()A150种方法【讲评】“闸板法”隔出的元素无须考虑顺序，而本题的
20、元素是人有顺序，由于隔出的“小隔间”里的元素多少不定，因则无法对其排序，因而计数容易有遗漏1.(2012潍坊市高考适应性训练)如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有()A8种 B12种C16种 D20种答案C解析如图，M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C20种方法，减去不合题意的4种，则不同的方法有16种2从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有()A280 B240C180 D96答案B解析分以下三类：(1)不选甲、乙，相当于4人从事4项工作，共有A24种方
21、法(2)甲、乙中一人入选，共有CCAA144种选派方案(3)甲、乙均入选，共有CAA72种选派方案由分类加法计数原理，得不同的选派方案共有：2414472240(种)3设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i1,2，n)如：在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为()A48 B96C144 D192答案C解析依题意，8排在第三位，7排在第五位，5排第六或第七位，当5排在第六位时，6排在后两位，排法种数为CA
22、48种，当5排在第七位时，6排在5前面，排法种数为CA96，故不同排列的种数为4896144，故选C.4对于各数互不相等的正数数组(ii，i2，in)(n是不小于2的正整数)，如果pq时有ipiq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组(a1，a2，a2011)的“顺序数”是2011，则正数数组(a2011，a2010，a2，a1)的“顺序数”是()A2010 B2011C2019044 D2021055答案C解析在正数数组(a1，a2，
23、a2011)中，我们把pq时ipiq记为“顺序数”，将piq记为“逆序数”，则“序数”“顺序数”“逆序数”，由于各数不相等，故2个数之间必产生1个“序数”，于是正数数组(a1，a2，a2011)的“序数”为C10052011，又正数数组(a1，a2，a2011)的“顺序数”是2011，故其“逆序数”为100520112011100420112019044，即正数数组(a2011，a2010，a2，a1)的“顺序数”是2019044.5(2011东城区3月综合练习)如果三位正整数如“abc”满足ac，则这样的三位数称为凸数(如120,121,352)那么，所有的三位凸数的个数为()A240 B2
24、04C729 D920答案A解析a、b、c无重复数字时可组成凸数，ACC204个；a、b、c有重复数字时有C936个，故共有240个6甲、乙、丙3 人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)答案336解析若没有一级台阶站了2个人，则共有A765210种；若有一级台阶站了2个人，则共有CA763126种共有210126336种7某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是_答案100解析A的分配方案有2种，如果A分配到的班级不再分配其他学生，则把其
25、余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C)A14；如果A分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是CCA24；如果A分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是CA12.故总数为2(142412)100.8四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有多少种？答案141解析解法一：从10个点中，任意取4个点的不同取法共有C种，其中，所取4个点共面的可分为两类第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有4C种取法第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：4个点分布在不
26、共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点，另3点在对棱上，因为共有6条棱，所以有6种取法；4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同取法所以符合题意的不同取法种数为C(4C63)141.解法二：在四面体中取定一个面，记为，那么取不共面的4个点，可分为四类第一类，恰有3个点在上这时，该3点必然不在同一条棱上，因此，4个点的不同取法数为4(C3)68.第二类，恰有2个点在上，可分两种情形：该2点在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为3C(C3)27；该2点不在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为(C3C)(C1)30.第三类，恰有1个点在上，可分两种情形：该点是棱的中点，这时4个点的不同取法数为339；该点不是棱的中点，这时4个点的不同取法数为326.第四类，4个点都不在上，只有1种取法应用分类计数原理，得所求的不同取法数为682730961141.高考资源网w w 高 考 资源 网