1、题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列an的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)0.(1)求an的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列an的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.(1)求数列bn的通项公式;(2)设数列bn前n项和为Tn,求Tn.3.(2018浙江,20)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.4.已知等差数
2、列an的前n项和为Sn,公比为q的等比数列bn的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列an,bn的通项公式an,bn;(2)求数列的前n项和Tn.5.已知数列an满足a1=,且an+1=an-(nN*).(1)证明:12(nN*);(2)设数列的前n项和为Sn,证明:(nN*).6.已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+en.题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解 当
3、n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1.又q(q-1)0,所以an是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.(2)证明 由(1)可知Sn=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解 (1)在等差数列an中,a1=1,公差d=1,Sn=na1+d=,bn=(2)bn=2,Tn=b1+b2+b3+bn=2+=2+=2故Tn=3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=
4、2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn,由cn=解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)故bn-bn-1=(4n-5),n2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)+(4n-9)+7+3.设Tn=3+7+11+(4n-5),n2,Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5),所以Tn=3+4+4+4-(4n-5),因此Tn=14-(4n+3),n2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)4.解 (1)设an公差为d,由题意得解得故an=3n-1,bn=(2)+22n+1,Tn=+(22n+3-8)=5.证明 (1)由题意得an+1-an=-0,即an+1an,故an由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)(1-a1)a10.由00,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)证明 由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1的离心率en=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=,故e1+e2+en
