1、(九)数学归纳法1已知数列an满足：a12a2，an1aan11(nN*)(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若a3，试证明：对nN*，an是4的倍数(1)解当a1时，a14，an1(1)an11.令bnan1，则b15，bn1(1)bn.b15为奇数，当n2时，bn也是奇数且只能为1，bn即an(2)证明当a3时，a14，an13an11.下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数当n1时，a1441，命题成立；设当nk(kN*)时，命题成立，则存在tN*，使得ak4t，ak13ak1134t1127(41)4(t1)127(4m1)14(27m7)，其中，4m44(t1)C44t5(1
2、)rC44t4rC4，mZ，当nk1时，命题成立由数学归纳法知，对nN*，an是4的倍数成立2已知数列an满足an1anan1(nN*)，且a13.(1)计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n2时，a4nn.(1)解a24，a35，a46，猜想：ann2(nN*)当n1时，a13，结论成立；假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即akk2，则当nk1时，ak1akak1(k2)2k(k2)1k3(k1)2，即当nk1时，结论也成立由，得数列an的通项公式为ann2(nN*)(2)证明原不等式等价于n4.显然，当n2时，等号成立当n2时，nCCC2C
3、nCCC254.综上所述，当n2时，a4nn.3已知函数f(x)ln(2x)ax在区间(0,1)上是增函数(1)求实数a的取值范围；(2)若数列an满足a1(0,1)，an1ln(2an)an，nN*，证明：0anan11.(1)解函数f(x)ln(2x)ax在区间(0,1)上是增函数，f(x)a0在区间(0,1)上恒成立，a.又g(x)在区间(0,1)上是增函数，ag(1)1，即实数a的取值范围为1，)(2)证明先用数学归纳法证明0an1.当n1时，a1(0,1)成立假设当nk(kN*)时，0ak1成立当nk1时，由(1)知当a1时，函数f(x)ln(2x)x在区间(0,1)上是增函数，ak
4、1f(ak)ln(2ak)ak，0ln 2f(0)f(ak)f(1)1，即0ak11成立，当nN*时，0an1成立下证anan1.0anln 10，anan1.综上0anan10；当n2时，S2P2440；当n3时，S3P38910；当n6时，S6P66436280.猜想：当n5时，SnPn0.证明如下：当n5时，由上述可知SnPn0.假设当nk(k5，kN*)时，SkPk2kk20.当nk1时，Sk1Pk12k1(k1)222kk22k12(2kk2)k22k12(SkPk)k22k1k22k1k(k2)15(52)1140.当nk1时，Sk1Pk10成立由可知，当n5时，SnPn0成立，即SnPn成立由上述分析可知，当n1或n5时，SnPn；当n2或n4时，SnPn；当n3时，SnPn.
