1、(六)函数与导数(B)1(2018江苏省兴化一中模拟)已知函数f(x)xexax，aR.(1)当a0时，求f(x)的最小值；(2)若x0时，f(x)ax2恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)存在极小值，求实数a的取值范围解(1)当a0时，f(x)xex，f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x1时，f(x)取最小值为f(1).(2)当x0时，f(x)ax2xexaxax2exaaxa，令h(x)(x0)，则h(x)0，所以h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)1，所以a1.(3)设g(x)f(x)(x1)exa，则g(x)
2、(x2)ex，令g(x)0，得x2，所以g(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)g(2)a，当a时，g(x)a0，即f(x)0，所以f(x)在R上单调递增，无极值；当a时，因为g(2)a0(易证eaa1)，所以g(2)g(a)0，所以g(x)在(2，a)上有一个零点，记为x1，则当x(2，x1)时，f(x)g(x)0，则f(x)单调递增，所以f(x)在xx1处取得极小值综上，若函数f(x)存在极小值，则实数a的取值范围为.2设函数f(x)2(a1)(aR)，g(x)ln xbx(bR)，直线yx1是曲线yf(x)的一条切线(1)求a的值；(2)若函数yf(x)g(x)有
3、两个极值点x1，x2.试求b的取值范围；证明：.(1)解设直线yx1与函数yf(x)的图象相切于点(x0，y0)，则y0x01，y02(a1)，1，解得a0.(2)解记h(x)f(x)g(x)，则h(x)2ln xbx.函数yf(x)g(x)有两个极值点的必要条件是h(x)有两个正零点h(x)b，令h(x)0，得bx10(x0)令t，则t0.问题转化为bt2t10有两个不等的正实根t1，t2，等价于解得0b.当0b时，设h(x)0的两正根为x1，x2，且x1x2，则h(x).当x(0，x1)时，h(x)0；当x(x2，)时，h(x)0，k(b)单调递增；当b时，k(b)0，k(b)单调递减，所
4、以当b时，k(b)取最大值，所以.3设函数f(x)2axcln x.(1)当b0，c1时，讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x1处的切线为y3x3a6且函数f(x)有两个极值点x1，x2，x10，f(x)2a.(1)当b0，c1时，f(x).当a0时，由x0，得f(x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递增当a0，解得0x；令f(x)，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)函数f(x)在x1处的切线为y3x3a6，所以f(1)2ab3a3，f(1)2acb3，所以ba3，ca，f(x)2a，函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1x2，则方程2ax2ax3a0有两个大于0的解，解得a3.所以a的取值范围是.2axax23a0，x2，由a0,4t10，(t)0，所以(t)在上单调递增，(t)，所以f(x2)的取值范围是.
