1、(五)函数与导数(A)1(2018宿迁期末)已知函数f(x)a(a0，且a1)是定义在R上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)若存在x1,2，使得4mf(x)2x10成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)是R上的奇函数，f(0)a0，可得a2.经检验a2符合题意(2)由(1)可得f(x)2，函数f(x)在R上单调递增，又2x11，20，220.由题意知，存在x1,2，使得mf(x)2m2x14成立，即存在x1,2，使得m成立令t2x1(1t3)，则有mt1，当1t3时，函数yt1为增函数，min0.m0.故实数m的取值范围为0，)2已知函数f(x)x.(1)若函数f(x
2、)的图象在(1，f(1)处的切线经过点(0，1)，求a的值；(2)是否存在负整数a，使函数f(x)的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由解(1)f(x)，f(1)1，f(1)ae1.函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y(ae1)x1，又直线过点(0，1)，1(ae1)1，解得a.(2)若a0恒成立，函数在(，0)上无极值；当x(0,1)时，f(x)0恒成立，函数在(0,1)上无极值方法一当x(1，)时，若f(x)在x0处取得符合条件的极大值f(x0)， 则则由得，代入得x00，结合可解得x02，再由f(x0)x00，得a，设h(x)，则h(x)，当x2时，h
3、(x)0，即h(x)是增函数，ah(x0)h(2).又a0，故当极大值为正数时，a，从而不存在负整数a满足条件方法二当x(1，)时，令H(x)aex(x1)x2，则H(x)(aex2)x，x(1，)，ex(e，)，a为负整数，a1，aexaee，aex20，H(x)0，H(2)ae24e240，x0(1,2)，使得H(x0)0，且当1x0，即f(x)0；当xx0时，H(x)0，即f(x)0.f(x)在x0处取得极大值f(x0)x0.(*)又H(x0)(x01)x0，代入(*)得f(x0)x00，可得f(x)axa，因为函数f(x)存在两个极值点x1，x2，所以x1，x2是方程f(x)0的两个正
4、根，即ax2ax10的两个正根为x1，x2，所以即所以f(x1)f(x2)axax1ln x1aaxax2ln x2aa(x1x2)22x1x2a(x1x2)ln(x1x2)a2aln a1，令g(a)2aln a1，a4，故g(a)20，g(a)在(4，)上单调递增，所以g(a)g(4)7ln 4，故f(x1)f(x2)的取值范围是(7ln 4，)(3)由题意知，f(x)ax对任意的实数x(1，)恒成立，即2ln xax24ax3a0对任意的实数x(1，)恒成立令h(x)2ln xax24ax3a，x1，则h(x)2ax4a2，若a0，当x1时，h(x)2ln x0，故a0符合题意；若a0，
5、()若4a24a0，即00，h(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)h(1)0，故00，即a1，令h(x)0，得x111，当x(1，x2)时，h(x)0，h(x)在(x2，)上单调递增，所以存在xx21，使得h(x2)1不符合题意若a1.当x(1，x0)时，h(x)0，h(x)在(1，x0)上单调递增；当x(x0，)时，h(x)x0.要证4x0，即要证41，只要证23a，因为a0，故23a，所以4x0.其次证明，当a0时，ln x1，则t(x)10，故t(x)在(1，)上单调递减，所以t(x)t(1)a10，则ln xxa0，所以当a0时，ln x4时，h(x)2ln xax24ax3a2ax24ax3a，即h(x)ax0，与题意矛盾，故a0不符合题意综上所述，实数a的取值范围是0,1
