1、专题09 数列中的恒成立、存在性问题数列是江苏高考的压轴题，难度比较大，综合性很强，恒成立与存在性问题经常会与不等式、导数等结合，运用推理论证，分类讨论，转化化归等重要的数学思想，以等差等比数列为基本模型，考察学生的综合能力。例1、（2015江苏高考20）设是各项为正数且公差的等差数列（1）证明：依次构成等比数列；（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由分析：（1）只需根据等比数列定义说明后项与前项的比值是一个常数（2）假设存在，令，将等式转化为关于的方程有解的问题，可以借助于导数研究函数单调性去寻找零点。 （3）与第二问解法类
2、似，同样转化为关于的方程有解的问题，运用多次求导判断单调性进一步说明有无零点（2）令，则，分别为，（，）假设存在，使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且（，），化简得（），且将代入（）式，则显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，使得，依次构成等比数列（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且再将这两式相除，化简得（）令，则令，则令，则令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列例2、（2018江苏
3、高考数学20）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列（1）设，若对均成立，求的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示） 分析：（1）只需将分别代入解四个关于的不等式取交集即可（2）恒成立问题转化为最值问题，用导数研究函数的单调性，而数列是函数上的点集，根据函数的单调性就能确定最值。数列也可以用后项减前项去与零比较判定单调性，同学们也可以去尝试（2）由题意：，假设存在使得对均成立即，即当时，满足恒成立因为，所以，又从而时，因此存在，使得对均成立因为对于时恒成立所以下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）令，其中，令，所以单调递增则（因为，前面函数与导
4、数的专题中有过证明，这边请同学们自行去证明），因为，所以所以，所以在上单调递增，即令，其中，因为，所以所以，所以在上单调递减即因此，的取值范围为例3、（2018苏北六市高三二模）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，且记（1）求证：数列不是等差数列；（2）设， 若数列是等比数列，求关于的函数关系式及其定义域；（3）数列能否为等比数列？并说明理由解：（1）设是等差数列，则即，又因为是等差数列所以，又是等比数列所以与题设矛盾所以数列不是等差数列 （3）假设成等比数列，公比为，则将+2得， 将+2得， ，由得，由得，则代入得再代入，得，与矛盾不成等比数列例4、（2017南通高三一模20）已知等差数列
5、的公差，且成等比数列，公比为（1）若，求的值；（2）当为何值时，数列为等比数列；（3）若数列为等比数列，且对于任意，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）由已知可得：成等比数列，所以整理得：，因为，所以；（3）因为数列为等比数列，由（2）知：=，因为对于任意，不等式恒成立，所以不等式，所以，即恒成立下面证明：对于任意的正实数，总存在正整数，使得，要证，即证，因为，则，解不等式，即，可得，所以，不妨取，则当时，原式得证，所以，所以，即得的取值范围是。例5、（2017南京高三三模）已知常数，数列满足，（1）若，求的值；求数列的前项和（2）若数列中存在三项依次成等差数列，求的取值范围解：（1）因为，
6、所以 因为 ，所以， 因为，所以当时，从而，所以当时，；当时，所以 即（ii）当时，即此时于是当时，从而所以若中存在三项依次成等差数列，由（i）可知，于是有 两边同时除以得，又所以，即与相矛盾故此时数列中不存在三项依次成等差数列 （iii）当时，则有，于是a3，此时有成等差数列即存在使得数列中存在三项依次成等差数列综上所述： 巩固练习：1、（2018苏锡常镇高三一模20）已知是数列的前项和，且（1） 求数列的通项公式；（2） 对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值（3） 设数列的前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式成立。求满足等式的所有正整数2、（2017南京盐城高三一模20）若存在常
7、数、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、3.当时，求；当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.3、（2016南通高三二模20）设数列的各项均为正数，的前项和，（1）求证：数列为等差数列；（2）等比数列的各项均为正数，且存在整数，使得（i）求数列公比的最小值（用表示）；（ii）当时，求数列的通项公式4、（2016苏锡常镇高三二模19）已知数列的前项和为，且对任意的正整数，都有，其中常数设 （1）若，求
8、数列的通项公式；（2）若且，设，证明数列是等比数列；（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围巩固练习答案解析：1、解：（1） 则 由- 得，即令，则所以是首项为，公比为的等比数列，（3）由 得 2、解：（1）方法一：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，. 方法二：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，当时，是周期为3的周期数列. 方法一：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，是以为首项、6为公差的等差数列，又， ，设，则，又，当时，；当时， ，得. （2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，即恒成立若，则，；若
9、，则，则为常数，则，为偶数，；经检验，满足条件的的通项公式为或. 方法二：设的段长、段比、段差分别为、，若，则，由，得；由，得，联立两式，得或，则或，经检验均合题意. 若，则，由，得，得，则，经检验适合题意.综上，满足条件的的通项公式为或. （2）（1）中，令，得，所以由得，所以由得，即当时，恒成立当时，两边取自然对数，整理得，记，则记，则，故为上增函数，所以，从而，故为上减函数，从而的最大值为中，解得当时，同理有，所以公比的最小值为（整数）4、解：，当时，从而，又在中，令，可得，满足上式，所以， （1）当时， ， 从而，即，又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以 （3）在（2）中，若，则也适合，所以当时， 从而由（1）和（2）可知 当时，显然不满足条件，故 当时，若时， ，不符合，舍去 若时，且所以只须即可，显然成立故符合条件； 若时，满足条件故符合条件； 若时，从而，因为故， 要使成立，只须即可于是 综上所述，所求实数的范围是
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