1、2016-2017学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqB（p）qC（p）qD（p）（q）2椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=13已知a，b，c满足cba且ac0，那么下列选项中一定成立的是（）AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（a+c）04设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=（）A2BCD35已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，B是A，
2、C的等差中项，则角C=（）A30B45C60D906设双曲线的个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD7下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b38设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（）Ae2BeCDln29ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD10设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D911已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F
3、的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD12已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知点A（3，1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为14设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为15已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为16设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（写出
4、一般式）三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（）解不等式0（）设a0，b0，c0，且a+b+c=1，求证（1）（1）（1）818（12分）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值19（12分）已知公差d0的等差数列an满足a1=2，且a1，a2，a5成等比数列（）求数列an的通项公式（）记Sn为数列an的前n项和，求使得Sn60n+800成立的最小正整数n的值20（12分）椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C与曲线|y|
5、=kx（k0）的交点为A，B，求OAB面积的最大值21（12分）已知函数f（x）=（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值22（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由2016-2017学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqB（p）qC（p）
6、qD（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】根据命题q是假命题，命题p是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案【解答】解：命题q是假命题，命题p是真命题，“pq”是假命题，即A错误；“pq”是假命题，即B错误；“pq”是假命题，即C错误；“pq”是真命题，故D正确；故选：D【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键2椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=1【考点】椭圆的标准方程【分析】由题意可设椭圆方程为+=1（ab0），由c=2，运用离心
7、率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程【解答】解：由题意可设椭圆方程为+=1（ab0），由2c=4，e=，解得c=2，a=2，b=2，即有椭圆方程： +=1故选：C【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式的运用，掌握a，b，c的关系是解题的关键3已知a，b，c满足cba且ac0，那么下列选项中一定成立的是（）AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（a+c）0【考点】不等式的基本性质【分析】根据a，b，c满足cba且ac0，可得a0，c0，于是A可得abac=a（bc）0Bc（ba）0C取b=0时，即可判断出；D由于a+c可能小于等于0，可得a
8、c（a+c）0【解答】解：a，b，c满足cba且ac0，a0，c0，可得：Aabac=a（bc）0，正确Bc（ba）0，不正确C取b=0时，不正确；Da+c可能小于等于0，可得ac（a+c）0，不正确故选：A【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题4设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=（）A2BCD3【考点】等比数列的前n项和【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案【解答】解：设公比为q，则=1+q3=3，所以q3=2，所以=故选B【点评】本题考查等比数列前n项和公式5已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a
9、=1，b=，B是A，C的等差中项，则角C=（）A30B45C60D90【考点】正弦定理【分析】由等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出A，由内角和定理求出C【解答】解：B是A，C的等差中项，2B=A+C，由A+B+C=180得B=60，a=1，b=，由正弦定理得，则sinA=，0A180，ab，A=30，即C=180AB=90，故选D【点评】本题考查正弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质，注意内角的范围，属于中档题6设双曲线的个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心
10、率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cybc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2a2=ac，即e2e1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想7下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1C
11、a2b2Da3b3【考点】充要条件【分析】利用不等式的性质得到ab+1ab；反之，通过举反例判断出ab推不出ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如a=2，b=1满足ab，但a=b+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的条件故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法8设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（）Ae2BeCDln2【考点】导数的乘法与除法法则【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f（x0）=2解方程即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x0）=2lnx0+1=2x0=e，故选
12、B【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分9ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD【考点】余弦定理；等比数列【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用10设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D9【考点】等差数列
13、的前n项和【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力11已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算
14、公式可得=于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2， =，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆E的方程为故选D【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键12已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D8【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y
15、 ）（）的最小值992或4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B【点评】求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知点A（3，1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为4【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），准线方程x=1，点A（3，1）在抛物线内，由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF
16、|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4，故答案为：4【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题14设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为【考点】简单线性规划【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x2yz=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x2yz=0平移到A时，截距最小，z最大由
17、可得B（1，2），由可得A（3，0）Zmax=3，Zmin=3则z=x2y3，3故答案为：3，3【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案15已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为21【考点】数列递推式【分析】an+1an=2n，利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式，基本不等式的性质即可得出【解答】解：an+1an=2n，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2（n1）+2（n2）+21+33=+33=n2
18、n+33则=222，可得n=6时，的最小值为21故答案为：21【点评】本题考查了“累加求和”方法与等差数列的求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为4xy=0（写出一般式）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先根据曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程求出g（1）与g（1），再通过求f（1）求出切线的斜率，以及切点坐标，即可求出切线方程【解答】解：曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+
19、1，g（1）=2，g（1）=3f（x）=g（x）+x2，f（x）=g（x）+2x即f（1）=g（1）+2=4，f（1）=g（1）+1=4切点坐标为（1，4），斜率为4曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为4xy=0故答案为：4xy=0【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及如何求切线方程，题目比较新颖，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（2016秋平顶山期末）（）解不等式0（）设a0，b0，c0，且a+b+c=1，求证（1）（1）（1）8【考点】不等式的证明【分析】（1）由=0，利用穿根法，即可求得不等式的解；（2）将不等式转化成由基本不等式的性质即可求证（
20、1）（1）（1）8【解答】解：（1）由不等式=0，由穿根法可知：2x1，或x3，不等式的解集为x丨2x1，或x3；（2）证明（1）（1）（1）=，=8，当且仅当a=b=c时取等号，【点评】本题考查不等式的解法及基本不等式的性质，考查穿根法的应用，属于中档题18（12分）（2015四川）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数【分析】（）由判别式=3p2+4p40，可得p2，或p，由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p，由两角和的正
21、切函数公式可求tanC=tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值（）由正弦定理可求sinB=，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75，从而可求p=（tanA+tanB）的值【解答】解：（）由已知，方程x2+pxp+1=0的判别式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以p2，或p由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，从而tan（A+B）=所以tanC=tan（A+B）=，所以C=60（）由正弦定理，可得sinB=，解得B=45，或B=135（舍去）于是，A=180BC=75则tanA=tan75=t
22、an（45+30）=2+所以p=（tanA+tanB）=（2+）=1【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题19（12分）（2016秋平顶山期末）已知公差d0的等差数列an满足a1=2，且a1，a2，a5成等比数列（）求数列an的通项公式（）记Sn为数列an的前n项和，求使得Sn60n+800成立的最小正整数n的值【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的系统公司即可得出（II）Sn=2n2，Sn60n+800，化为n230n4000，解得n即可得出【解答】解：（
23、I）若a1，a2，a5成等比数列，则a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，d0则2a1=d，a1=2，解得d=4an=2+4（n1）=4n2（II）Sn=2n2，Sn60n+800即2n260n8000，化为n230n4000，解得n40使得Sn60n+800成立的最小正整数n的值为41【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）（2016秋平顶山期末）椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C与曲线|y|=kx（k0）的交点为A，B，求O
24、AB面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；（）设点A（x0，y0）（x00，y00），则y0=kx0，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值【解答】解：（）由右焦点为，得，由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a=2c，即则b2=a2c2=9所以椭圆C的方程为；（）设点A（x0，y0）（x00，y00），则y0=kx0，设AB交x轴于点D，由对称性知：，由得得，所以，当且仅当，时取等号，所以OAB面积的最大值【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的性质和a，b，c
25、的关系，考查椭圆的对称性和直线与椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题21（12分）（2011北京）已知函数f（x）=（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（）根据（I），对k1是否在区间0，1内进行讨论，从而求得f（x）在区间0，1上的最小值【解答】解：（）f（x）=（xk+1）ex，令f（x）=0，得x=k1，f（x）f（x）随x的变化情况如下：x（，k1）k1（k1，+） f（x）0
26、+ f（x）ek1f（x）的单调递减区间是（，k1），f（x）的单调递增区间（k1，+）；（）当k10，即k1时，函数f（x）在区间0，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（0）=k；当0k11，即1k2时，由（I）知，f（x）在区间0，k1上单调递减，f（x）在区间（k1，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（k1）=ek1；当k11，即k2时，函数f（x）在区间0，1上单调递减，f（x）在区间0，1上的最小值为f（1）=（1k）e；综上所述f（x）min=【点评】此题是个中档题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f（x）=0根是否在区间0，1内
27、进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度22（12分）（2008陕西）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算【分析】（1）设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x2代入进而求得m和k的关系，进而可知lAB（2）假设存在实数k，使成立，则可知NANB，又依据M是AB的中点进而可知根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入求得k【解答】解：（）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0，由韦达定理得，x1x2=1，N点的坐标为设抛物线在点N处的切线l的方程为，将y=2x2代入上式得，直线l与抛物线C相切，m=k，即lAB（）假设存在实数k，使，则NANB，又M是AB的中点，由（）知=MNx轴，又=，解得k=2即存在k=2，使【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力
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