1、第一章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知f(x)=lnxx2,则f(e)=()A.1e3B.1e2C.-1e2D.-1e3解析:f(x)=x2x-2xlnxx4=1-2lnxx3,f(e)=1-2ln ee3=-1e3.答案:D2.曲线f(x)=ex+x在(1,f(1)的切线方程为()A.(1+e)x-y=0B.ex-y+1=0C.(1+e)x+y-2(1+e)=0D.x-(1+e)y=0解析:f(x)=1+ex,k=f(1)=1+e.f(1)
2、=1+e,切线方程为y-(1+e)=(1+e)(x-1),即(1+e)x-y=0.答案:A3.函数f(x)=aln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1C.0D.-12解析:f(x)=ax+1,令f(x)=0,得x=-a,所以函数f(x)在x=-a处取得极值,所以a=-1.答案:B4.函数f(x)=x2x-1()A.在(0,2)上单调递减B.在(-,0)和(2,+)上单调递增C.在(0,2)上单调递增D.在(-,0)和(2,+)上单调递减解析:f(x)=2x(x-1)-x2(x-1)2=x2-2x(x-1)2=x(x-2)(x-1)2.令f(x)=0,得x1=0,x2=2.
3、x(-,0)和x(2,+)时,f(x)0,x(0,1)和x(1,2)时,f(x)0,故选B.答案:B5.已知函数f(x)的导函数为f(x)=2x2,x(-1,1).如果f(x)f(1-x),则实数x的取值范围为()A.-,12B.(-1,1)C.-1,12D.0,12解析:f(x)=2x20,f(x)在(-1,1)上单调递增,故x1-x,又-1x1,-11-x1,解得0x-1B.-1a0C.0a1解析:f(x)在x=a处取得极大值,f(x)在x=a附近左增右减,分a0,a=0,a0讨论易知-1a0.答案:B9.如果圆柱的轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为()A.l63B.l33C.l43D
4、.14l43解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,h=l-4r2.V=r2h=l2r2-2r30r0,r=l6是其唯一的极值点.当r=l6时,V取得最大值,最大值为l63.答案:A10.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减函数,则实数b的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-,-1D.(-,-1)解析:f(x)=-x+bx+2.f(x)在(-1,+)上是减函数,f(x)=-x+bx+20在(-1,+)上恒成立,bx(x+2)在(-1,+)上恒成立.又x(x+2)=(x+1)2-1-1,b-1.答案:C二、第卷(非选择题共50分)填
5、空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.由曲线y=ex+x与直线x=0,x=1,y=0所围成图形的面积等于.解析:由已知面积S=01 (ex+x)dx=ex+12x2|01=e+12-1=e-12.答案:e-1212.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.解析:y=3x2-10=2,x=2.又点P在第二象限,x=-2.点P的坐标为(-2,15).答案:(-2,15)13.函数f(x)=(x2-3)ex在0,2上的最大值为.解析:f(x)=2xex+ex(x2-3)=e
6、x(x2+2x-3),令f(x)=0,得x=1或x=-3(舍),在x0,1上,f(x)递减,在1,2上,f(x)递增.又f(0)=-3,f(2)=e2,f(x)max=e2.答案:e214.若f(x)=x2+3,x0,-x,x0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是.解析:f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,得x=a.f(x)在(-,-a),(a,+)上单调递增,在(-a,a)上单调递减.f(-a)=6,f(a)=2.(-a)3-3a(-a)+b=6,(a)3-3aa+b=2,解得a=1,b=4.f(x)=3x2-3.令f(x)0,得-1x1.答案:(-1,1)三、解答题(本大题
7、共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-23与x=1处都取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间-2,2的最大值与最小值.解:(1)f(x)=3x2+2ax+b,由题意f-23=0,f(1)=0,即43-4a3+b=0,3+2a+b=0,解得a=-12,b=-2,经检验符合题意,f(x)=x3-12x2-2x.(2)由(1)知f(x)=3x+23(x-1),令f(x)=0,得x1=-23,x2=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2-2,-23-23-23,11(
8、1,2)2f(x)+0-0+f(x)-6极大值2227极小值-322由上表知fmax(x)=f(2)=2,fmin(x)=f(-2)=-6.17.(本小题6分)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围.解:(1)f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),a+b=4.f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b.由已知得f(1)-19=-1,即3a+2b=9.由,得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,f(x)=3x2+6x,令
9、f(x)=3x2+6x0,得x0或x-2,故由f(x)在m,m+1上单调递增,得m,m+10,+)或m,m+1(-,-2,m0或m+1-2,即m0或m-3.m的取值范围为(-,-30,+).18.(本小题6分)已知函数f(x)=lnxx.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若y=xf(x)+1x的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=1-lnxx2.当0x0,f(x)为增函数;当xe时,f(x)0,f(x)为减函数.(2)依题意得,不等式a0恒成立.令g(x)=ln x+1x,则g(x)=1x-1x2=1x1-1x.当x(1,+)时,g(x)=1x1-1x0,则g
10、(x)是(1,+)上的增函数;当x(0,1)时,g(x)0,则g(x)是(0,1)上的减函数.所以g(x)的最小值是g(1)=1,从而a的取值范围是(-,1).19.(本小题7分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数,2a5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式;
11、(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.解:(1)由题意,该产品一年的销售量y=kex,将x=40,y=500代入,得k=500e40.该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y=500e40-x.L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35x41).(2)L(x)=500e40-x-(x-30-a)e40-x=500e40-x(31+a-x).当2a4时,L(x)500e40-x(31+4-35)=0,当且仅当a=4,x=35时取等号.所以L(x)在35,41上单调递减.因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5.当4035x31+a;L(x)031+ax41.所以L(x)在35,31+a)上单调递增,在(31+a,41上单调递减.因此,L(x)max=L(31+a)=500e9-a.答当2a4时,每件产品的售价为35元,该产品一年的利润L(x)最大,最大为500(5-a)e5万元;当4a5时,每件产品的售价为(31+a)元,该产品一年的利润L(x)最大,最大为500e9-a万元.