1、限时规范训练(十七)概率及其应用限时50分钟，实际用时_分值81分，实际得分_一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1(2016高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A.B.C. D.解析：选A.事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.2(2017山东潍坊模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A. B.C. D.解析：选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1
2、个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1.3(2016高考全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B.C. D.解析：选C.如图，数对(xi，yi)(i1,2，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得.故选C.4(2017山东威海二模)从集合1,2,3,4中随机抽取一个数a，从集合1,2,3
3、中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(2,1)共线的概率为()A. B.C. D.解析：选A.由题意可知m(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，m(a，b)与向量n(2,1)共线，a2b0，即a2b，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.5圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯(Reuleaux)命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆
4、等宽曲线它的画法(如图1)：画一个等边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形它的宽度等于原来等边三角形的边长等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2)在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为()A. B.C. D.解析：选D.设鲁列斯曲边三角形的宽度为a，则该鲁列斯曲边三角形的面积为3a22a2，所以所求概率P，故选D.6(2017湖南六校联考)从1(其中m，n1,2,3)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A. B.C. D.解
5、析：选B.当方程1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m0，n0，所以方程1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，1)，(3，1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(1，1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，则m0，n0，有(2,3)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7(2017山东泰安三模)在区间2,3上任取一个数a，则函数f(x)x3ax2(a2)x有极值的概率为_解析：区间2,3的长度为5，f(x)x22axa2.函数f(x)x3ax2(a2)x有极值等价于f(x)
6、x22axa20有两个不等实根，即4a24(a2)0，解得a1或a2，又a2,3，2a1或2a3，区间范围的长度为2，所求概率P.答案：8(2017山东临沂模拟)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_解析：根据题目条件知所有的数组(a，b)共有6236组，而满足条件|ab|1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(
7、3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P.答案：9(2017杭州模拟)已知实数x2,30，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是_解析：设实数x2,30，经过第一次循环得到x2x1，n2，经过第二循环得到x2(2x1)1，n3，经过第三次循环得到x22(2x1)11，n4，此时输出x，输出的值为8x7，令8x7103得x12，由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P.答案：三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10(2017北京海淀区模拟)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的
8、知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目数0,8)8910女213128男337169(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A，P(A)1.(2)设答对题目数少于8的司机为A，B，C，D，E其中A，B为女司机，任选出2人包含AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，D
9、E，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，共7种记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M，则P(M).11(2017甘肃兰州模拟)某市举行“职工技能大比武”活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工(1)若从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的2名职工来自同一工厂的概率解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2,1名女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2,2名女职工为b1，b2.(1)从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进
10、行比赛，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种不同的选法其中选出的2名职工性别相同的选法有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种不同的选法故选出的2名职工性别相同的概率为P1.(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2
11、，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种不同的选法其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9种不同的选法所以选出的2名职工来自同一工厂的概率为P2.12为了吸引更多的优季学子，全国重点大学每年都会开展“夏令营活动”，据悉甲、乙两所高校共收1 000名学生，分三个批次开展“夏令营活动”，每名学生只能
12、参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次，时间先后安排在暑假、国庆节、寒假期间，参加两校“夏令营活动”的学生人数如表所示：第一批次第二批次第三批次甲200xy乙150160z已知在参加两校“夏令营活动”的1 000名学生中随机抽取1人，第二批次参加甲大学“夏令营活动”的频率是0.21.(1)现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取50人，求应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数；(2)已知135y150，求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多的概率解：(1)由题意知0.21，解得x210，第三批次参加“夏令营活动”的人数为y
13、z1 000(150200160210)280.现用分层抽样的方法在所有学生中抽取50名，应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数为28014.(2)第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数和参加乙大学“夏令营活动”的人数记为(y，z)，由(1)知yz280，且y，zN*，则总的基本事件有(135,145)，(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共16个设“第三批次参加夏令营活动的学生中参加甲大学夏令营活动的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多为事件A，则事件A包含的基本事件有(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共10个，所以P(A).