1、专题6：数量和位置变化问题1. （2015年江苏泰州3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为【 】A. B. C. D. 【答案】B.【考点】旋转的性质；旋转中心的确定；线段垂直平分线的性质. 【分析】根据“旋转不改变图形的形状与大小”和“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的性质，确定图形的旋转中心的步骤为：1.把这两个三角形的对应点连接起来；2.作每条线的垂直平分线；3.这三条垂直平分线交于一点,此点为旋转中心. 因此，作图如答图, 点P的坐标为.故选B.2. （2015年江苏无锡3分）函数中自变量的取值范围是【 】A. B. C. D. 【答案】B【考点】
2、函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件.【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 故选B3. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图像大致为【 】A. B. C. D. 【答案】B.【考点】单动点问题；函数图象的分析；正方形的性质；三角形的面积；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】根据题意，可知ABP的面积S随着时
3、间t变化的函数图像分为五段：当点P从AD时，ABP的面积S是t的一次函数；当点P从DE时，ABP的面积S不随t的变化而变化，图象是平行于t轴的一线段；当点P从EF时，ABP的面积S是t的一次函数；当点P从FG时，ABP的面积S不随t的变化而变化，图象是平行于t轴的一线段；当点P从GB时，ABP的面积S是t的一次函数.故选B.4. （2015年江苏扬州3分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，RtABC 经过变换得到RtODE，若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是【 】A. ABC绕点C顺时针旋转90，再向下平移3 B. ABC绕点C顺时针旋转90，再向下平移1 C.
4、 ABC绕点C逆时针旋转90，再向下平移1 D. ABC绕点C逆时针旋转90，再向下平移3【答案】A.【考点】图形的旋转和平移变换. 【分析】按各选项的变换画图（如答图），与题干图形比较得出结论. 故选A.5. （2015年江苏南通3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tan的值是【 】A. B. C. D. 【答案】C【考点】坐标与图形性质；锐角三角函数定义.【分析】如答图，设（2，1）点是B，过点B作BCx轴于点C则OC=2，BC=1，故选C6. （2015年江苏宿迁3分）函数，自变量的取值范围是【 】A. B. C. D. 【答案】C.【考点】函数自变量的取值范围；二
5、次根式有意义的条件.【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 故选C.1. （2015年江苏南京2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，作点A关于x轴的对称点得到点A，再作点A关于y轴的对称点，得到点A，则点A的坐标是（ ， ）【答案】；3.【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标特征.【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点A关于x轴对称的点A的坐标是；21026013关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点A 关于y轴对称的点A的坐标是.21*8y
6、*0132. （2015年江苏常州2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 【答案】（400，800）【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理的应用；坐标确定位置【分析】如答图，连接AC，A（400，300），OD=400m，AD=300m.由题意可得：AB=300m，BC=400m，在AOD和ACB中，AODACB（SAS）.CAB=OAD.B、O在一条直线上，C、A、D也在一条直线上.AC=AO=500m，
7、CD=AC=AD=800m.C点坐标为：（400，800）1. （2015年江苏盐城12分）知识迁移 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到.类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）. 理解应用 函数的图像可以由函数的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，其对称中心坐标为 灵活运用 如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据该图像指出，当x在什么范围内变化时，？实际应用 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识
8、学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在（4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为.如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【答案】解：理解应用：1；1；（1，1）.灵活运用：函数的图像如答图：由图可知，当时，.实际应用：当时，由解得.当进行第一次复习时，复习后的记忆存留量变为1.点（4，1）在函数的图象上.由解得.由解得.当时，是他第二次复习的“最佳时机点”.【考点】阅读理解型问题；图象的平移；
9、反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；数形结合思想和方程思想的应用.【分析】理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的平移变换的规律：上加下减；右减左加.灵活运用：根据平移规律性作出图象，并找出函数图象在直线之上时的取值范围.实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），代入，求出，从而求出第二次复习的“最佳时机点”.2. （2015年江苏盐城12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）
10、如图，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与PAT相似时，求所有满足条件的t的值.【答案】解：（1）如答图1，设直线AB与轴的交点为M，P（，2），.设直线AB的解析式为，则，解得.直线AB的解析式为.（2）如答图2，过点Q作轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D，根据条件可知，是等腰直角三角形.设，则，.当时，点Q到直线AB的距离的最大值为.（3），中必有一角等于45.由图可知，不合题意.若，如答图3，过点B作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，此时，.根据抛物线的轴对称性质，知，是等腰直角三角形.与相似，且，也是等
11、腰直角三角形.i）若，联立，解得或. .，此时，.ii）若，此时，.若，是情况之一，答案同上.如答图4，5，过点B作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，以点为圆心，为半径画圆，则都在上，设与y轴左侧的抛物线交于另一点.根据圆周角定理，点也符合要求.设，由得解得或，而，故.可证是等边三角形，.则在中，.i）若，如答图4，过点作轴于点，则，.，此时，.ii）若，如答图5，过点作轴于点，设，则.，.，此时，.综上所述，所有满足条件的t的值为或或或.【考点】二次函数综合题；线动旋转和相似三角形存在性问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质
12、；二次函数最值；勾股定理；圆周角定理；分类思想、数形结合思想、方程思想的应用.【分析】（1）根据旋转的性质得到等腰直角三角形，从而得到解决点M的坐标，进而应用待定系数法即可求得直线AB的解析式.（2）作辅助线“过点Q作轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D”，设，求出关于的二次函数，应用二次函数最值原理即可求解.（3）分，三种情况讨论即可.3. （2015年江苏扬州10分）平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即.（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点,的勾股值、；（2）点在
13、反比例函数的图像上，且，求点的坐标；（3）求满足条件的所有点围成的图形的面积.【答案】解：（1）,，.（2）点在反比例函数的图像上，可设.，.若，则，解得.或.若，则，解得.或.综上所述，点的坐标为或或或.（3）设，.若，则，即.若，则，即.若，则，即.若，则，即.满足条件的所有点围成的图形是正方形，如答图. 满足条件的所有点围成的图形的面积为18.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）直接根据定义求解即可.（2）设，根据得到，分和求解即可.（3）设，根据得到，由负分类即可求解.4. （2015年江苏淮安10分）如图，
14、菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），COA600，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF.（1）直接写出点F的坐标；（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积.【答案】解：（1）.（2）如答图，连接，与相交于点，菱形OABC中，COA600，.，.将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF，. 【考点】面动旋转问题；旋转的性质；菱形的性质；扇形和菱形面积的计算；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；转换思想的应用.【分析】（1）根据旋转和菱形的性质知，且在一直线 上，点F的坐标为.（2）作辅助线“连接，与相交于点”，构成直角三角形，解之可求得，从而应用
15、求解即可.5. （2015年江苏淮安12分）如图，在RtABC中，ACB90，AC=6，BC=8. 动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动. 过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒.（1）当t 秒时，动点M、N相遇；（2）设PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请
16、说明理由.【答案】解：（1）2.5.（2）在整个运动过程中，分三段：点与点重合前；点与点重合后点M、N相遇前；点与点重合后点M、N相遇后.当点与点重合时，如答图1，.根据勾股定理，得，解得.由（1）动点M、N相遇时，.当点N运动到点A时，由得.当时，如题图，.，即.当时，如答图2，.，即.当时，如答图3，.，即.综上所述，S与t之间的函数关系式为.（3）在整个运动过程中，KAC的面积变化，它的最大值是4，最小值是.【考点】双动点问题；由实际问题列函数关系式（几何问题）；勾股定理；相似三角形的判定和性质；一次函数的应用和性质；三角形和梯形的中位线定理；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）
17、在RtABC中，ACB900，AC=6，BC=8，根据勾股定理，得.点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，动点M、N相遇时，有秒.（2）分点与点重合前；点与点重合后点M、N相遇前；点与点重合后点M、N相遇后三种情况讨论即可.（3）分点与点重合前；点与点重合后点M、N相遇前；点与点重合后点M、N相遇后三种情况讨论，如答图，分别过点作的垂线，垂足分别为点，易得当时，如答图4，易得，.当时，最大值为；当时，最小值为.当或时，如答图4，5，易得，.当时，最大值为4； 最小值不大于.综上所述，在整个运动过程中，KAC的面积变化，它的最大值是4，最小值是.6. （2015年江苏宿迁8
18、分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，3），反比例函数的图象经过点A，动直线x=t（0t8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N（1）求k的值；（2）求BMN面积的最大值；（3）若MAAB，求t的值【答案】解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数得：k=18=8， k=8.（2）设直线AB的解析式为：，A（8，1），B（0，3），解得：. 直线AB的解析式为：.由（1）得反比例函数的解析式为：，设，则.BMN的面积是t的二次函数.0，BMN的面积有最大值.当t=3时，BMN的面积的最大值为.（3）如答图，过点作轴于点，延长交轴于点，MAAB，.，即，解得.又A（8，1），直线AP的解析式为：.解得，.【考点】反比例函数综合题；线动问题；待定系数法的应用；曲线上点的代代相传坏蛋方程的关系；二次函数最值的应用；相似三角形的判定和性质【分析】（1）把点A坐标代入，即可求出k的值.（2）先求出直线AB的解析式，设，则，由三角形的面积公式得出BMN的面积是t的二次函数，即可应用二次函数最值原理得出面积的最大值.（3）作辅助线“过点作轴于点，延长交轴于点”，证明而求出，从而得到点的坐标，应用待定系数法求出直线AP的解析式，由反比例函数解析式和直线AP的解析式联立求出点M的横坐标，即可得出结果
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