1、第5讲函数、导数与方程1设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点解：(1)f(x)的定义域为R，由导数公式知f(x)2xex(1x2)ex(x1)2ex，xR.因为对任意xR，都有f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)证明：由(1)知f(x)在(，)上单调递增，且f(0)1a1，所以a10，所以0，所以e1，所以e10，故f()0，所以存在x0(0，)使得f(x0)0.又因为f(x)在(，)上是单调函数，所以f(x)在(，)上仅有一个零点2(2019武昌区调研考试)已知函数f(x)aexaex1，
2、g(x)x3x26x，其中a0.(1)若曲线yf(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若f(x)g(x)m在0，)上有解，求实数m的取值范围解：(1)因为f(0)a10，所以a1，此时f(x)exex1.所以f(x)exe，f(0)1e.所以曲线yf(x)在原点处的切线方程为y(1e)x.(2)因为f(x)aexaex1，所以f(x)aexaea(exe)当x1时，f(x)0；当0x1时，f(x)1时，h(x)0；当0x0.所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以当x0，)时，h(x)maxh(1)m.要使f(x)g(x)m在0，)上有解，则m1，即m.所以
3、实数m的取值范围为，)3已知函数f(x)(a，bR，a0)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为a.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论方程f(x)1根的个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由f(1)aba，得b2a，所以f(x)，f(x).当a0时，由f(x)0，得0x；由f(x).当a0，得x；由f(x)0，得0x0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a0，在上h(x)0，当x无限增大时，h(x)无限接近0；在上，h(x)单调递增且当x无限接近0时，ln x2负无限大，故h(x)负无限大故当0时，方程f(x)1有两个不等实根，当a时，方程f(x)1只有一个
4、实根，当a时，方程f(x)1有两个实根；当a0或a时，方程f(x)1有一个实根；当0a时，方程f(x)1无实根4(2019洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)ln x，mR.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2)处的切线与直线xy0平行，求实数n的值；(2)若n1时，函数f(x)恰有两个零点x1，x2(0x12.解：(1)由题意得f(x)，所以f(2).由于函数f(x)的图象在(2，f(2)处的切线与直线xy0平行，所以1，解得n6.(2)证明：若n1时，f(x)恰有两个零点x1，x2(0x11，ln t，x1，故x1x2x1(t1)，所以x1x22，记函数h(t)ln t(t1)，则h(t)0，所以h(t)在(1，)上单调递增，所以h(t)h(1)0，又t1时，ln t0，所以x1x22成立
