1、第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、选择题1幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()A(0，)B0，)C(，) D(，0)解析：选D.设f(x)xa，则2a，所以a2，所以f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故选D.2函数f(x)|x|3的零点所在区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选B.函数f(x)|x|3是单调减函数，因为f(1)10，f(2)10，所以f(1)f(2)1，所以f(log36)3log3682，所以f(f(log36)f(2)log4(22)1.故选B.4(2019广州市综合检测(一)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其
2、底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是()解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5(2019广东省七校联考)已知xln ，ylog52，ze，则()AxyzByzxCzxy Dzy1，0log521，0e1，所以x最大因为2，所以0log52log5.因为e4，所以e2，即ln 2ln ，所以eeln，所以zy.综上可知，xzy，故选B.6(2019贵阳市第一学期监测)若函数f(x)x2，设alog54，blog，c2，则f(a)，f(b)
3、，f(c)的大小关系是()Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b)解析：选D.f(x)x2在(0，)上单调递增，而0loglog53log5412，所以f(b)f(a)3成立，则实数m的取值范围是()A(1，) B(，1)C. D.解析：选D.由0得x(2，2)，又y2x在(2，2)上单调递增，ylog3 log3 log3在(2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)3，所以不等式f3成立等价于不等式ff(1)成立，所以解得m1，故选D.9已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若f(1
4、)，则x的取值范围是()A. B(0，e)C. D(e，)解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln x)ff(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，所以f(1)等价于|f(ln x)|f(1)，又f(x)在区间0，)上单调递增，所以1ln x1，解得x0时，k，令g(x)1，x0，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g()10，所以在(，1)上存在一个a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的图象如图所示由题意知，直线yk与y|g(x)|的图象有两个交点，所以0k1，故选C.二、填空题11已知函数y4ax91(a0且a1)恒过
5、定点A(m，n)，则logmn_解析：依题意知，当x90，即x9时，y413，故定点为(9，3)，所以m9，n3，故logmnlog93.答案：12(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 28，所以a3.答案：313某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.则你认为
6、最适合的函数模型的序号为_解析：若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)axb，由已知得，解得.所以f(x)x，xN，所以最适合的函数模型的序号为.答案：14对于实数a，b，定义运算“”：ab设f(x)(2x1)(x1)，且关于x的方程f(x)m0恰有三个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是_解析：由2x1x1可得x0，由2x1x1可得x0.所以根据题意得f(x)即f(x)画出函数的图象，从图象上观
7、察当关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线ym有三个不同的交点，再根据函数的极大值为f，可得m的取值范围是.答案：三、解答题15某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6，8另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别
8、投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划解：(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，可得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为y110x(20mx)(10m)x20，其定义域为xN|0x200；y218x(8x40)0.05x20.05x210x40，其定义域为xN|0x120(2)因为6m8，所以10m0，函数y1(10m)x20在0，200上是增函数，所以当x200时，生产A产品有最大利润，且y1max(10m)200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)24
9、60(xN，0x120)，所以当x100时，生产B产品有最大利润，且y2max460(万美元)因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时，可投资生产A产品200件；当m7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.61时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由解：(1)f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增所以当xm时，f(m)为极小值，也是最小值令f(m)1m0，得m1，即若对任意xR有f(x)0成立，则m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(x)在0，2m上有两个零点，理由如下：由(1)知f(x)在0，2m上至多有两个零点，当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，所以g(m)在(1，)上单调递增，所以g(m)g(1)e20，即f(2m)0.所以f(m)f(2m)0，所以f(x)在(m，2m)上有一个零点所以f(x)在0，2m上有两个零点
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