1、2017届高三毕业班第一次模拟考试数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合的子集个数为（ ）A8B7C6D4 2.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A B1C D2 3.已知数列的前项和，则数列的前10项和等于（ ）ABCD 4.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦
2、实，化简，得勾股弦设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A866B500C300D134 5.已知圆的一条切线与双曲线：，有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D 6.已知点的坐标满足不等式组为直线上任一点，则的最小值是（ ）ABCD 7.已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围为（ ）ABCD 8.函数的图象大致是（ ）9.如图，已知长方体的体积为6，的正切值为，当的值最小时，长方体外接球的表面积为（ ）ABCD 10.已知函数（，）得图象在轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有，
3、则实数的取值范围为（ ）ABCD 11.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A8B10C12D14 12.已知定义在上的函数满足，且时，则函数的零点个数是（ ）ABCD 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量，且，则 14.已知，则的展开式中的系数为 15.已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，点，分别为曲线，上的点，则的最小值为 16.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在圆内接四边形中，（）
4、求角的大小；（）求四边形周长的取值范围18. 如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点，的中点为，的中点为，且（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值19. 2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品（）求此活动中各公园幸运之星的人数；（）若乙公园中每位幸运之星对每
5、个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为，求的分布列及数学期望20. 已知椭圆：的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，的面积为，椭圆的离心力为（）求椭圆的标准方程；（）已知为坐标原点，直线：与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围21. 已知函数与的图象在点处有相同的切线（）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；（）设函数，求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系
6、的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），射线的极坐标方程为（）求圆和直线的极坐标方程；（）已知射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）若，恒成立，求实数的取值范围；（）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积2017届高三毕业班第一次模拟考试数学（理科）答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13.5 14. 15.2 16.三、解答题17.解：（），又，（）根据题意，由余弦定理，又，又，四边形的周长的取值范围为18.解:（）点在平面内的射影恰好为点，平面
7、，又平面，平面平面又以为直径的圆经过点，为正方形又平面平面，平面平面，又，又的中点为，又平面，平面，平面又平面，平面平面（）如图，建立以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向的空间直角坐标系，设，则，的中点为，故，设平面的法向量为，则令，则易知平面的一个法向量为，设二面角为，容易看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为19.解：（）甲、乙、丙、丁四个公园中幸运之星的人数为：，（）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为（）由题意，取值为，服从超几何分布，所以的分布列为：234所以20.解：（）根据已知椭圆的焦距为，
8、当时，由题意的面积为，由已知得，椭圆的标准方程为（）若，则，由椭圆的对称性得，即，能使成立若，由，得，因为，共线，所以，解得设，由得，由已知得，即，且，由，得，即，即当时，不成立，即，解得或综上所述，的取值范围为21.解：（）因为，根据题意，得解得所以设，则，当时，当时，所以，又因为时，；当时，故欲使两图象有两个交点，只需，所以实数的取值范围为.（）由，得设，则，当时，单调递增，所以，所以，所以要证，只需证，即，变形得，等价于，等价于，令()，则只需证，设，则，所以，所以对恒成立，即22.解：（），圆的普通方程为，圆的极坐标方程（为参数）消去后得，直线的极坐标方程为（）当时，点的极坐标为，点的极坐标为，故线段的长为23.解：（），解得（）当时，或画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为
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