1、专题4.6 正余弦定理【基础巩固】一、填空题1(2017哈尔滨模拟)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C_.【答案】602在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，a2，b，则B_.【答案】【解析】A，a2，b，由正弦定理可得，sin Bsin A.A，B.3(2017海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为_ km. 【答案】a【解析】由题图可知，ACB120，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22aa3a2，解得AB
2、a(km)4(2017盐城诊断)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为_【答案】直角三角形5(2016山东卷改编)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A_.【答案】【解析】在ABC中，由bc，得cos A，又a22b2(1sin A)，所以cos Asin A，即tan A1，又知A(0，)，所以A. 6(2017南京、盐城模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac2b，sin Bsin C，则cos A_.【答案】【解析】由sin Bsin C结合正弦定理可得bc，又ac2b，则a
3、c，由余弦定理可得cos A.7(2015重庆卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.【答案】4【解析】由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcos C4922316，所以c4.8(2016北京卷)在ABC中，A，ac，则_.【答案】1二、解答题9(2016江苏卷)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)cos的值解(1)由cos B，B(0，)，则sin B，又C，AC6，由正弦定理，得，即AB5.(2)由(1)得：sin B，cos B，sin Ccos
4、C，则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)，则coscos Acossin Asin.10ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值【能力提升】11在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，则c_.【答案】2【解析】2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C，si
5、n C0，cos C，C，SABC2absin Cab，ab8，又ab6，或c2a2b22abcos C416812，c2. 12(2016江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_【答案】8【解析】在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，13(2017呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是_km2.【答案】【解析】如图，连接AC，由余弦定理可知AC，故ACB90，CAB30，DACDCA15，ADC150，即AD，故S四边形ABCDSABCSADC12(km2)14(2017苏北四市调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(BC)1cos A，且b，a，c成等比数列(1)求sin Bsin C的值；(2)求A；(3)求tan Btan C的值
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