1、专题能力训练8平面向量及其综合应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0,bc0.()A.若ab0,y0B.若ab0,则x0,y0,则x0,y0,则x0,y05.ABC所在平面上的动点P满足=(tan B+tan C),其中0,则动点P一定经过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心6.(2017浙江镇海中学5月模拟)已知ABC的外接圆半径为2,D为该圆上一点,且,则ABC的面积的最大值为()A.3B.4C.3D.47.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边B3C3上有1
2、0个不同的点P1,P2,P10,记mi=(i=1,2,10),则m1+m2+m10的值为()A.15B.45C.60D.1808.如图,扇形OAB中,OA=1,AOB=90,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则的最小值为()A.0B.C.D.1-二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.在边长为1的正方形ABCD中,2,BC的中点为F,=2,则=.10.若平面向量a,b,e满足|e|=1,ae=1,be=2,|a-b|=2,则ab的最小值为.11.已知向量a,b及实数t满足|a+tb|=3.若ab=2,则t的最大值是.12.如图,在同一个平面内,向量的模分别
3、为1,1,的夹角为,且tan =7,的夹角为45.若=m+n(m,nR),则m+n=.13.(2017浙江杭州二模)设P为ABC所在平面上一点,且满足3+4=m(m0).若ABP的面积为8,则ABC的面积为.14.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120,的夹角为30,且|=|=2,|=4,若=+(,R),则+的值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,cosDAC=120.(1)求cosBAD;(2)设=x+y,求x,y的值.16.(本小题满分15分)如
4、图,在ABC中,D是BC的中点,(1)若=4,=-1,求的值;(2)若P为AD上任一点,且恒成立,求证:2AC=BC.参考答案专题能力训练8平面向量及其综合应用1.A解析 m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n.故选A.2.A解析 因为,则,即=2-=2.3.B解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2ab=5,解得ab=0.|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4
5、ab=1+16=17,所以|a+2b|=.故选B.4.A5.D解析 =(tan B+tan C)=|cos (-B)tan B+|cos Ctan C=|(-|sin B+|sin C),由正弦定理得|sin C=|sin B,=0.APBC,故动点P一定经过ABC的垂心.6.B解析 由知,ABDC为平行四边形,又A,B,C,D四点共圆,ABDC为矩形,即BC为圆的直径,当AB=AC时,ABC的面积取得最大值24=4.7.D解析 因为AB2与B3C3垂直,设垂足为C,所以上的投影为AC,mi=|AB2|AC|=23=18,从而m1+m2+m10的值为1810=180.8.D解析 建立如图所示平
6、面直角坐标系,设P(cos t,sin t),M,N(m,0),则=(m-cos t,-sin t),故=1-,因为0m1,所以=1-1-;又因为1-=1-sin(t+)=1-sin(t+)(tan =2),所以1-=1-sin(t+)1-(当且仅当sin(t+)=1时取等号).故选D.9.-解析 如下图,建立平面直角坐标系,则E,G,B(1,0),D(0,1),则=(-1,1),则=1(-1)+1=-.10.11.解析 ab=2|a|b|cos =2(为a,b的夹角),|a+tb|=39=a2+t2b2+4t=a2+4t4t8t,t.12.3解析 |=|=1,|=,由tan =7,0,得00
7、,cos 0,tan =,sin =7cos ,又sin2+cos2=1,得sin =,cos =1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.13.14解析 由3+4=m,可得,可设,则D,A,C共线,且D在线段AC上,可得,即有D分AC的比为43,即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍,故SABC=SABP=8=14.14.6解析 由已知根据向量数量积的定义可得=-2,=12,=0,在=+两边分别乘,得即所以+=6.15.解 (1)设CAB=,CAD=,则cos =,cos =,从而可得sin =,sin =,故cosBAD=cos(+)=cos cos -sin sin =.(
8、2)由=x+y,得即解得16.解 (1),E,F为AD的四等分点.以BC为x轴,以D为原点建立平面直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),则E,F,=(m+a,n),=(m-a,n),.=4,=-1,解得m2+n2=,a2=.-a2+(m2+n2)-a2=.(2)P为AD上任一点,设P(m,n),则=(1-)m,(1-)n),=(a-m,-n),=(1-)m(a-m)-(1-)n2=(1-)(ma-m2-n2),.恒成立,ma+(m2+n2)0恒成立,即(m2+n2)2-(m2+n2+ma)+(m2+n2)+ma0恒成立,=(m2+n2+ma)2-4(m2+n2)0,即(m2+n2)2-ma(m2+n2)+m2a20,0,(m2+n2)=ma,即m2-2ma=-n2,AC=a,又BC=2a,2AC=BC.
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