1、2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1抛物线的准线方程为_2计算： =_3已知|=2， |=3，且、的夹角为，则|32|=_4在复平面内，点A（2，1）对应的复数z，则|z+1|=_5关于x方程=0的解为_6已知集合A=x|x22x3=0，B=x|ax1=0，若BA，则由a的值构成的集合为_7已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若=3，则=_8某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为_（结果用数值表示）9圆心是C（
2、a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为_10如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为_11直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围_12已知函数f（x）=，若对于正数kn（nN*），关于x的函数g（x）=f（x）knx的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+kn2）=_13函数f（x）=3|x+5|2|x+3|，数列a1，a2，an，满足an+1=f（an），nN*，若要使a1，a2，an，成等差数列则a1的取值范围_14设整数n3，集合P=
3、1，2，n，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：_二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15若a、bR，则“ab0”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16设P为双曲线y2=1（a0）的上一点，F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则F1PF2的面积等于（）ABCD17若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）AB2C4D18设an是公比为q（q1）的无穷等比
4、数列，若an中任意两项之积仍是该数列中的项，则称an为“封闭等比数列”给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则an是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则an是“封闭等比数列”；（3）若an，bn都是“封闭等比数列”，则anbn，an+bn也都是“封闭等比数列”；（4）不存在an，使an和an2都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A0B1C2D3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤19如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）求三棱锥EPAD的体积；（2）证明：无论点E在边
5、BC的何处，都有AFPE20如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区已知A=120，AB、AC的长度均大于200米设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值21已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x+（1）f（x）0在x1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a0时，对任意的x11，2，存在x21，2，使得f（x1）g（x2）恒成立，求a的取值范围22设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长
6、为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=（01），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t2）是相似椭圆椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：ABC的垂心M在椭圆E上23已知无穷数列an满足an+1=pan+（nN*）其中p，q均为非负实数且不同时为0（1）若p=，q=
7、2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，pq=0，求数列an的前n项和Sn；（3）若a1=2，q=1，且an是单调递减数列，求实数p的取值范围2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1抛物线的准线方程为y=1【考点】抛物线的简单性质【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求【解答】解：由，得x2=4y，2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y=1故答案为：y=12计算： =1【考点】极限及其运算【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结
8、果【解答】解：=1故答案为：13已知|=2， |=3，且、的夹角为，则|32|=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可【解答】解：|=2， |=3，且、的夹角为，=|cos=2=3，则|32|2=9|212+4|2=94123+49=3636+36=36，则|32|=6，故答案为：64在复平面内，点A（2，1）对应的复数z，则|z+1|=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模【解答】解：在复平面内，点A（2，1）对应的复数z，则|z+1|=|2+i+1|=|1+i|=故答案为：5关于x方程=0的解为x=或x=，kZ【考点】三角函数
9、中的恒等变换应用；二阶矩阵【分析】由已知可得sin2x=求出2x的值，则原方程的解可求【解答】解：由=0，得4sinxcosx1=0，即sin2x=2x=或x=，则x=或x=，kZ故答案为：x=或x=，kZ6已知集合A=x|x22x3=0，B=x|ax1=0，若BA，则由a的值构成的集合为1，0， 【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】先化简集合A，利用BA，求出a的取值，注意要分类讨论【解答】解：A=x|x22x3=0=1，3，若BA，则若a=0，即B=时，满足条件BA若a0，则B=x|ax1=0=，要使BA，则=1或=3，解得a=1，或a=综上a=0或a=1或a=，由a的值构成的集合为1
10、，0， 故答案为：1，0， 7已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若=3，则=【考点】等差数列的前n项和【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得【解答】解：设等差数列an的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，=故答案为：8某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答
11、案【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有151=14种，则其概率为；故答案为9圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为=2acos【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】由已知可得直角坐标方程，利用2=x2+y2，x=cos，代入即可得出极坐标方程【解答】解：圆心是C（a，0）、半径是a的圆的直角坐标方程为：（xa）2+y2=a2，化为x2+y22ax=0，把2=x2+y2，x=cos，代入可得极坐标方程：2=2acos，即=2acos故答案为：=2aco
12、s10如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在RtD1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案【解答】解：如图，连接BD，BD1，则，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在RtD1DB中，由BD=，求得，A1A=C1C=D=，则，多面体的体积为V=故答案为：11直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点
13、，则k的取值范围0，+）【考点】抛物线的简单性质【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k2）x+1=0，（1）若k=0，则2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意（2）若k0，=（2k2）24k2=48k直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，=48k0，解得kk或k=0故答案为：0，+）12已知函数f（x）=，若对于正数kn（nN*），关于x的函数g（x）=f（x）knx的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+kn2）=【考点】函数的图象；函数
14、零点的判定定理；极限及其运算【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x2）=knx，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=knx的距离为1，进而得到答案【解答】解：当0x2时，（x1）2+y2=1，（y0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x2时，函数f（x）=f（x2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x2）=knx，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=knx与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=knx的距离为1，即有k12+k22+k32+kn2=（k12+k22+k32+kn2）=，故答案为：13
15、函数f（x）=3|x+5|2|x+3|，数列a1，a2，an，满足an+1=f（an），nN*，若要使a1，a2，an，成等差数列则a1的取值范围93，+）【考点】数列与函数的综合【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意nN*，an+1an1an为等差数列，所以存在正数M，当nM时，an3，再对a1讨论，当a15时，若5a13，若a13，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论【解答】解：当x3时，f（x）=3x+152x6=x+9；当5x3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x5时，f（x）=3x15+2x+6=x9当an3时，an+1an=9；当5an3时，
16、an+1an=4an+214（5）+21=1；当an5时，an+1an=2an92（5）9=1对任意nN*，an+1an1即an+1an，即an为无穷递增数列又an为等差数列，所以存在正数M，当nM时，an3，从而an+1=f（an）=an+9，由于an为等差数列，因此公差d=9当a15时，则a2=f（a1）=a19，又a2=a1+d=a1+9，故a19=a1+9，即a1=9，从而a2=0，当n2时，由于an为递增数列，故ana2=03，an+1=f（an）=an+9，而a2=a1+9，故当a1=9时，an为无穷等差数列，符合要求；若5a13，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d
17、=a1+9，5a1+21=a1+9，得a1=3，应舍去；若a13，则由ana1得到an+1=f（an）=an+9，从而an为无穷等差数列，符合要求综上可知：a1的取值范围为93，+）故答案为：93，+）14设整数n3，集合P=1，2，n，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：（n2）2n1+1【考点】数列的求和；元素与集合关系的判断【分析】设A中的最大数为k，其中1kn1，整数n3，则A中必含元素k，另元素1，2，k1，可在A中，B中必不含元素1，2，k；元素k+1，k+2，k可在B中，但不能都不在B中由此能求出an【解答】解：设A中的最大数
18、为k，其中1kn1，整数n3，则A中必含元素k，另元素1，2，k1，可在A中，故A的个数为： +=2k1，B中必不含元素1，2，k，另元素k+1，k+2，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为： +=2nk1，从而集合对（A，B）的个数为2k1（2nk1）=2n12k1，an=（2n12k1）=（n1）2n1=（n2）2n1+1故答案为：（n2）2n1+1二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15若a、bR，则“ab0”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点
19、】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【分析】利用不等式的性质判断出“ab0”则有“a2b2”，通过举反例得到“a2b2”成立推不出“ab0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解：若“ab0”则有“a2b2”反之则不成立，例如a=2，b=1满足“a2b2”但不满足“ab0”“ab0”是“a2b2”的充分不必要条件，故选A16设P为双曲线y2=1（a0）的上一点，F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则F1PF2的面积等于（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】先利用双曲线的定义，得|PF1|PF2|=2a，利用余弦定理求出|PF1|PF2|的值，结合三角形的面
20、积公式即可求出F1PF2的面积【解答】解：双曲线方程y2=1（a0），b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF1|PF2|=2a，F1PF2=，4c2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|PF2|=（|PF1|PF2|）2+3|PF1|PF2|，即4c2=4a2+3|PF1|PF2|，即3|PF1|PF2|=4c24a2=4b2=4，则|PF1|PF2|=，=|PF1|PF2|sin=，故选：C17若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）AB2C4D【考点】旋
21、转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0a2r），用a表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，则2r=2=r=设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0a）则截面等腰三角形的高h=截面面积S=2当且仅当即a=2时取等号故选：B18设an是公比为q（q1）的无穷等比数列，若an中任意两项之积仍是该数列中的项，则称an为“封闭等比数列”给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则an是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则an是“封闭等比数列”；（3）若an，bn都是“封闭等比数列”，则
22、anbn，an+bn也都是“封闭等比数列”；（4）不存在an，使an和an2都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】等比数列的通项公式【分析】（1）求出，由a1a2an，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”【解答】解：（1）an是a1=3，q=2的等比数列，由题意得a1a2=36=18an，故命题（1）错误；（2），故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误故选：B
23、三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤19如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）求三棱锥EPAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AFPE【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF平面PBC，即可得出结论【解答】（1）解：PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，（2）证明：PA平面ABCD，PAAB，又PA=AB=1，且点F是PB的中点，AFPB又PABC，BCAB，PAAB=A，BC
24、平面PAB，又AF平面PAB，BCAF由AF平面PBC，又PE平面PBC无论点E在边BC的何处，都有AFPE成立20如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区已知A=120，AB、AC的长度均大于200米设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y22xycos120=（x100）2+30000，根据二次函
25、数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，2分所以：4分当且仅当x=y=100时，等号成立所以：当x=y=100米时，平方米 6分（2）因为：PQ2=x2+y22xycos120=x2+y2+xy8分=x2+2+x=x2200x+40000=（x100）2+3000010分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为14分21已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x+（1）f（x）0
26、在x1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a0时，对任意的x11，2，存在x21，2，使得f（x1）g（x2）恒成立，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义【分析】（1）把不等式f（x）0恒成立转化为ax2+10恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在1，2）上的最大值得答案；（2）当a0时，对任意的x11，2，存在x21，2，使得f（x1）g（x2）恒成立，等价于f（x）ming（x）min在区间1，2上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案【解答】解：（1）f（x）0ax2+10a在x1，2）上恒成立，x1
27、，2），x21，4），），则2，），a，则a的取值范围是）；（2）当a0时，对任意的x11，2，存在x21，2，使得f（x1）g（x2）恒成立，等价于f（x）ming（x）min在区间1，2上成立，当a0时，函数f（x）在1，2上单调递增，故，或或解得，a；解得，a；解得1a4综上，a的取值范围为1，422设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=（01），过A作斜率为k1
28、的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t2）是相似椭圆椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：ABC的垂心M在椭圆E上【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s2，0s2，列出等式，解方程可得s；（2）求得A，D的坐标，可得直线l1与直线l2的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x0，y0），代入椭
29、圆H的方程；设ABC的垂心M的坐标为（xM，yM），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证【解答】解：（1）显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s2时s=4；当0s2时s=1则s=4或1；（2）易得，可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，依题意联立： （1+2k12）x2+4k12x+4k122=0，又直线l1与椭圆G相切，则1=0（又01），即32k144（1+2k12）（4k122）=0，即|k1|=，依题意再联立： （1+2k22）x2+4k2x+22=0，又直线l2与椭圆G相切则2=0（又01），即16k2
30、24（1+2k22）（22）=0，即|k2|=，故|k1k2|=，即|k1|+|k2|2，当且仅当|k1|=|k2|时取到等号，此时=，所以当=时|k1|+|k2|取得最小值； （3）证明：显然椭圆E： =1，由=，可得t=4，即有椭圆H： =1 由椭圆H上的任意一点C（x0，y0），于是=1设ABC的垂心M的坐标为（xM，yM），由CMAB得xM=x0，又AMBC=1，将xM=x0代入=1，得x02=2y0yM由得y0=2yM又x0=xM代入（1）得2=1，即ABC的垂心M在椭圆E上23已知无穷数列an满足an+1=pan+（nN*）其中p，q均为非负实数且不同时为0（1）若p=，q=2，且
31、a3=，求a1的值；（2）若a1=5，pq=0，求数列an的前n项和Sn；（3）若a1=2，q=1，且an是单调递减数列，求实数p的取值范围【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和【分析】（1）a3=+，解得a2=或，进而解得a1（2）对p，q分类讨论，对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出（3）由题意，an0，由a1=2，可得，解得，若数列an是单调递减数列，则，可得，可得：对于任意自然数n，恒成立由，由，解得下面证明：当时，数列an是单调递减数列通过作差即可证明【解答】解：（1）a3=+，解得a2=或，当时，解得a1=1或4，当时，无解a1=1或4（2）若p=0，q0，当n为奇数时，；当n为偶数时，若p0，q=0时，an+1=pan，（3）由题意，an0，由a1=2，可得，解得，若数列an是单调递减数列，则，可得，又有，即由可知，对于任意自然数n，恒成立，由，解得下面证明：当时，数列an是单调递减数列当时，可得由和，两式相减得，成立，则有anan14p当时，即，由可知，当anan1时，恒有an+1an，对于任意的自然数n，an+1an恒成立实数p的取值范围是：2016年9月28日