1、孟津一高2021届高三数学模拟培优卷（二）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则( )A.B.C.D.2.复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某防汛抗旱指挥部拟安排甲、乙等5名志愿者进行为期5天的护堤安全排査工作，要求每人安排1天，每天安排1人，则甲不安排在前两天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率为( )A.B.C.D.4.已知角的定点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点且则 ( )A. B. C. D. 5.甲、乙两名同学6次考
2、试的成绩统计如图,甲、乙两名同学成绩的平均数分别为,标准差分别为,则( )A. B. C. D. 6.设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( )ABCD7.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,则等于( )A.B.C.D.8.若恰有1个零点，则实数的取值范围为( ) ABC.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.椭圆的左、右焦点分别为和为椭圆C上的动点,则下列说法正确的是( )A.,满足的点P有两个B.,满足的点P有四个C.的面积的最大值为D.的周长小于10.下图是函数的
3、部分图像，则( )A.B.C.D.11.已知函数，则A. 在上的最大值为B. 在上单调递增C. 在上无最小值D. 的图象关于直线对称12.若随机变量X服从两点分布，其中分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线与圆的位置关系是_.14.已知等差数列的前n项和为且则_.15.已知的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数_，展开式中的常数项为_.16.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,则此球的表面积等于_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤.17. （10分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知.(1)求角A的大小.(2)若，求的值.18. （12分）已知数列中，其前n项和满足，其中，.(1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式.(2)设，为数列的前n项和，求使的n的取值范围。19. （12分）在高三一次数学测验后,某班对选做题的选题情况进行了统计,如表 坐标系与参数方程不等式选讲人数及均分人数均分人数均分男同学14867女同学812(1)求全班选做题的均分；(2)据此判断是否有的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关？(3)已知学习委员甲(女)和数学科代表乙(男)都选做不等式选讲若在不等式选讲中按
5、性别分层抽样抽取3人,记甲乙两人被选中的人数为,求的数学期望参考公式：,下面临界值表仅供参考： 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820. （12分）如图,直四棱柱的底面是菱形,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.21. （12分）已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间.22. （12分）如图,设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为,抛物线与椭圆交于轴上方一点,连接并延长其交于点为上一动点,且在之间移动.(1)当取最小值时,
6、求和的方程:(2)若的边长恰好是三个连续的自然数,当面积取最大值时,求面积最大值以及此时直线的方程.答案以及解析一、单项选择题1.答案：A解析：,得，所以.2.答案：B解析：，其在复平面内对应点，位于第二象限，故选B.3.答案：A解析：由题意知，总的基本事件数为，对于甲不安排在前两天，且乙不安排在第一天和最后一天，考虑先安排甲，如果甲安排在最后一天，乙只能安排在第2天到第4天中的某一天，共有种安排方法，其他3人可以任意安排，则有种不同的安排方法，如果甲安排在第3天或第4天，则甲有2种安排方法，乙也只有2种安排方法，其他3人可以任意安排，有种不同的安排方法，所以共有种不同的安排方法.故甲不安排在
7、前两天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率为4.答案：B解析：根据题的条件,可知三点共线,从而得到,因为,解得,即,所以,故选B.5.答案：C解析：由题图可知，甲同学除第二次考试成绩稍低于乙同学，其他考试成绩都高于乙同学，可知.又由题图中折线趋势可知甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，故.6.答案：D解析：函数在上为单调递减函数，且,函数在的函数值为正，在上的函数值为负.当时，不等式等价于,又奇函数，所以有,所以有.同理当时，可解得.综上，不等式的解集为.故选D.7.答案：C解析：将双曲线C化为标准方程，则，.由双曲线定义，知 .又，.故选C.8.答案：B解析：由恰有1个零点，方程恰有1个解，即方
8、程恰有1个解，即函数的图象与直线在上恰有1个交点，因为，当时，当时，所以在区间上都是减函数，在是增函数，当时，取极小值，直线过点，斜率为，显然是函数的图象与直线的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数与的图象，由图可知，当时，直线应在函数（）的图象上方，设，即恒成立，因为,只需为减函数，所以，即恒成立，设，设，则，当且仅当，即，即，即时，所以，当时，直线与相切，也适合，故满足题意的取值范围为，故选B.二、多项选择题9.答案：ACD解析：记椭圆C的上、下顶点分别为,易知.选项A中,正确.选项B中,不存在90的,错误.选项C中,面积,正确.选项D中,周长,正确.10.答案：BC解析：由题图可
9、知，函数的最小正周期，.当时，将点代入得，即，故.由于，故选项B正确；，选项C正确；对于选项A，当时，错误；对于选项D，当时，错误.当时，将代入，得，结合函数图象，知，得，但当时，与图象不符合，舍去.综上，选BC.11.答案：ACD解析：，定义域为令，则因为二次函数的图象的对称轴为直线，且在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以在上无最小值故选ACD12.答案：ABC解析：因为随机变量X服从两点分布，且，所以，所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选ABC.三、填空题13.答案：相交或相切解析：直线的方程可化为,由得即直线过定点.因为点在圆上,所以直线与圆相交或相
10、切.14.答案：解析：由题意知又所以则.15.答案：1；45解析：的展开式的所有项的二项式系数之和为且二项展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，所以解得展开式中的第四项为所以，解得所以即其展开式的通项令解得，所以展开式中的常数项为16.答案：解析：设的外接圆的圆心为,半径为,则,.球的半径,.四、解答题17.答案：（1）因为，所以由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.又，故.（2）由1知，则.因为，所以，故因为，所以.18.答案：（1）由可得即又数列是首项，公差为1的等差数列通项公式综上所述，结论为：数列是等差数列，通项公式.（2）由题1知：数列的前n项和为则两式相减可得由可得，即设，则在
11、上单调递减，当时，当时的取值范围为且综上所述，结论为：n的取值范围为且.19.答案：(1)根据表中数据,计算全班选做题的平均分为(2)由表中数据计算观测值：,所以,据此统计有的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关(3)学习委员甲被抽取的概率为,设不等式选讲中6名男同学编号为乙,1,2,3,4,5；从中随机抽取2人,共有15种抽法：乙与1,乙与2,乙与3,乙与4,乙与5,1与2,1与3,1与4,1与5,2与3,2与4,2与5,3与4,3与5,4与5,数学科代表乙被抽取的有5种：乙与1,乙与2,乙与3,乙与4,乙与5,数学科代表乙被抽取的概率为,甲乙两人均被选中的概率为20.答案：(
12、1)连接.因为分别为的中点,所以,且.又因为为的中点,所以.由题设知,可得,故,因此四边形为平行四边形,.又平面,所以平面.(2)由已知可得.以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设为平面的法向量,则所以可取.设为平面的法向量,则所以可取.于是,所以二面角的正弦值为.21.答案：(1)当时,则.,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)由函数,得.当时,所以的单调递减区间为,无单调递增区间.当时,令,即,解得.当时,所以的变化情况如下表:0+极小值所以的单调递减区间为,单调递增区间为.当时,所以的变化情况如下表:+0极大值所以的单调递增区间为,单调递减区间为.22.答案：(1)因为,则,所以取最小值时此时抛物线,此时,所以椭圆的方程为.(2)因为,则,设椭圆的标准方程为,由得,所以或(舍去),代入抛物线方程得,即于是又的边长恰好是三个连续的自然数,所以,此时抛物线方程为,则直线的方程为,联立得或(舍去)于是,所以设到直线的距离为,则当时,所以的面积的最大值为,此时.
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