1、2020年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1已知集合Mx|x2，集合Nx|x1，则MN 2向量在向量方向上的投影为 3二项式（3x1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为 4复数的共轭复数为 5已知yf（x）是定义在R上的偶函数，且它在0，+）上单调递增，那么使得f（2）f（a）成立的实数a的取值范围是 6已知函数f（x）arcsin（2x+1），则f1（） 7已知xR，条件p：x2x，条件q：a（a0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 8已知等差数列an的公差d3，Sn表示an的前n项和，若数列Sn是递增数
2、列，则a1的取值范围是 9数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为 10过抛物线C：y22x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为 11已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*，Sn（1）nan+n3且（a1p）（a2p）0，则实数p的取值范围是 12已知函数f（x）关于x的不等式f（x）mx2m20的解集是（x1，x2）（x3，+），若x1x2x30，则x1+x2+x3的取值范围是 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13过点（1，0），且与直线有相同方向向量的直线的方程
3、为（）A3x+5y30B3x+5y+30C3x+5y10D5x3y+5014一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A1：2B1：8C：2D：415若圆C1：x2+y21和圆C2：x2+y26x8yk0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A（9，11）B（25，9）C（，9）（11，+）D（25，9）（11，+）16设H是ABC的垂心，且3+4+5，则cosBHC的值为（）ABCD三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分）17如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|1，母线SA3（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形
4、的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小18设函数f（x）x2+|xa|（xR，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a，求函数f（x）的最小值（用a表示）19如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知AB5km（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点
5、D之间的距离（结果精确到0.1km）20（16分）给正有理数、（ij，i，jN*，mi，ni，mj，njN*，且mimj和ninj不同时成立），按以下规则P排列：若mi+nimj+nj，则排在前面；若mi+nimj+nj，且ninj，则排在的前面，按此规则排列得到数列an（例如：，）（1）依次写出数列an的前10项；（2）对数列an中小于1的各项，按以下规则Q排列：各项不做化简运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列bn，求数列bn的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列an中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合Ac1，
6、c2，c3，c2019，A的子集B满足：对任意的x，yB，有x+yB，求集合B中元素个数的最大值21（18分）已知椭圆：+1（ab0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b2（1）若a，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论2020年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共
7、12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1已知集合Mx|x2，集合Nx|x1，则MNx|x1或x2【解答】解：Mx|x2，Nx|x1，MNx|x1或x2故答案为：x|x1或x22向量在向量方向上的投影为3【解答】解：向量在向量，cos（，），向量在向量方向上的投影为：cos（，）53，故答案为3；3二项式（3x1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55【解答】解：二项式（3x1）11的二项展开式的通项公式Tr+1（3x）11r（1）r，令r2，可得中第3项的二项式系数为55，故答案为：554复数的共轭复数为【解答】解：，故答案为：5已知yf（x）是定义在R上的偶函数，且它在0，
8、+）上单调递增，那么使得f（2）f（a）成立的实数a的取值范围是a2或a2【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增不等式f（2）f（a）等价为f（2）f（|a|），即2|a|，a2或a2，故答案为：a2或a26已知函数f（x）arcsin（2x+1），则f1（）【解答】解：令arcsin（2x+1）即sin2x+1解得x故答案为：7已知xR，条件p：x2x，条件q：a（a0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（0，1【解答】解：因为xR，条件p：x2x，所以p对应的集合为A（0，1）；因为条件q：a（a0），所以q对应的集合为B（0，；因为p是q的
9、充分不必要条件，所以AB，所以，所以0a1，故答案为：（0，18已知等差数列an的公差d3，Sn表示an的前n项和，若数列Sn是递增数列，则a1的取值范围是（3，+）【解答】解：Snna1+数列Sn是递增数列，Sn+1Sn，（n+1）a1+3na1+化为：a13n，对于nN*都成立a13故答案为：（3，+）9数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为840【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9分2种情况讨论：当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A8256种，当
10、个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7A82A22784种，共784+56840；故答案为：84010过抛物线C：y22x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为【解答】解：抛物线C：y22x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，所以，整理得9x215x+40，解得，当x时，解得y，设点M（），l为抛物线C的准线，点N在l上且MNl，所以N（，）所以NF的直线方程为，所以当M（）到直线的距离d故答案为：11已知数列an的前n项
11、和为Sn，对任意nN*，Sn（1）nan+n3且（a1p）（a2p）0，则实数p的取值范围是（）【解答】解：数列an的前n项和为Sn，对任意nN*，Sn（1）nan+n3，当n1时，解得，当n3时，整理得，当n4时，整理得，由得：，所以，整理得，解得，所以：实数p的取值范围是（），故答案为：（）12已知函数f（x）关于x的不等式f（x）mx2m20的解集是（x1，x2）（x3，+），若x1x2x30，则x1+x2+x3的取值范围是212，+）【解答】解：画出函数yf（x）的图象，x的不等式f（x）mx2m20，即为f（x）m（x+2）+2，作出直线ym（x+2）+2，其恒过定点（2，2），由解
12、集是（x1，x2）（x3，+），若x1x2x30，可得x10，x20，x30，当x1时，x1，x2，是方程x2+6x+10mx2m20的两个实根；即x2+（6m）x+82m0的两个实根，x1+x2m6；当x1时，x3是方程4x+1mx2m20的实根；x3；结合图象可得m0，当直线ym（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+21，解得m；当直线ym（x+2）+2与直线y14x平行时，m4由直线ym（x+2）+2在yf（x）的上方，可得4mm+40，x1+x2+x3m6+m+4+12212212；当且仅当m+4时，即m4+时取等号；故答案为：212，+）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20
13、分）13过点（1，0），且与直线有相同方向向量的直线的方程为（）A3x+5y30B3x+5y+30C3x+5y10D5x3y+50【解答】解：由可得，3x+5y+80，即直线的斜率，由题意可知所求直线的斜率率k，故所求的直线方程为y（x1）即3x+5y+30故选：B14一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A1：2B1：8C：2D：4【解答】解：在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比又一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，相似比为1：2则截得的小棱锥
14、与原棱锥的高之比是：2故选：C15若圆C1：x2+y21和圆C2：x2+y26x8yk0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A（9，11）B（25，9）C（，9）（11，+）D（25，9）（11，+）【解答】解：化圆C2：x2+y26x8yk0为（x3）2+（y4）225+k，则k25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y21的圆心坐标为（0，0），半径为1要使圆C1：x2+y21和圆C2：x2+y26x8yk0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|，即5或5，解得25k9或k11实数k的取值范围是（25，9）（11，+）故选：D16设H是ABC的垂心，且3+4+5，则cosBHC
15、的值为（）ABCD【解答】解：由三角形垂心性质可得，不妨设x，3+4+5，同理可求得，故选：D三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分）17如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|1，母线SA3（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小【解答】解：（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|1，母线SA3所以圆锥的高为h所以，S圆锥侧133（2）如图所示：在圆锥中，作MNSP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为AMN依题意：AM，MN，AN，所以，所以面直线AM与PS所
16、成角的大小18设函数f（x）x2+|xa|（xR，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a，求函数f（x）的最小值（用a表示）【解答】解：（1）若函数f（x）为偶函数，则f（x）f（x）对于任意实数恒成立即：x2+|xa|x2+|xa|，所以|x+a|xa|恒成立，即a0（2）在的基础上，讨论xa的符号，当xa时，f（x）x2+xa，所以函数f（x）的对称轴为x，此时当xa时，f（x）x2+xa，所以函数f（x）的对称轴为x，此时又由于a时，所以函数f（x）的最小值为19如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景
17、点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知AB5km（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离（结果精确到0.1km）【解答】解：（1）如图，过点D作DEAC于点E，过点A作AFDB，交DB的延长线于点F在RtDAF中，ADF30，AFAD84，DF；在RtABF中，BF3，BDDFBF43sinABF，在RtDBE中，sinDBE，ABFDBE，sinDBE，DEBDsinDBE（43）3.1（km）景点D向公路a修建的这条公路的长约
18、是3.1km；（2）由题意可知CDB75，由（1）可知sinDBE0.8，所以DBE53，DCB180755352在RtDCE中，sinDCE，DC4（km）景点C与景点D之间的距离约为4km20（16分）给正有理数、（ij，i，jN*，mi，ni，mj，njN*，且mimj和ninj不同时成立），按以下规则P排列：若mi+nimj+nj，则排在前面；若mi+nimj+nj，且ninj，则排在的前面，按此规则排列得到数列an（例如：，）（1）依次写出数列an的前10项；（2）对数列an中小于1的各项，按以下规则Q排列：各项不做化简运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得
19、到数列bn，求数列bn的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列an中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合Ac1，c2，c3，c2019，A的子集B满足：对任意的x，yB，有x+yB，求集合B中元素个数的最大值【解答】解：（1）依题意，数列an的前10项为：，；（2）依题意按规则Q排列后得：，前10项和为：S10+5；求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令20191+2+3+n即2019，n（63，64），数列分母取慢264时，共有2016项，所有分母为65的还有3项，即：，数列bn前2019项为：，当n2，64时，对分母为n的小段
20、求和：S+，当n2，64时，对63个小段相加求和：S+1008，S2019S+1008，（3）依题意：A1，2，3，2019，B2019，2018，2107，2016，1010共1010项，这种情况B中的元素最多21（18分）已知椭圆：+1（ab0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b2（1）若a，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线
21、段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2x2+（y2）25（1）+（y2）2y24y+9，y2，2，二次函数开口向下，对称轴y8，y2，2上函数单调递减，所以y2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：+1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2x2+（y2）2a2（1）+（y2）2（+1）y24y+4+a2，y2，2，由题意得，当且仅当y2时，函数值达到最大，讨论：当开口向上时，满足：2a2（舍）；当开口向下时，满足2a2，综上a的范围：（2，2（3）a2，椭圆方程：+1，由题意：设P（2cos，sin），0，2，且，则Q（2cos，sin），则直线AP：yx+2M（，0）则直线AQ：y+2N（，0），MN为直径的圆过定点C（m，n）则，0，所以得定点（0，2）
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