1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:零向量的长度为零,方向是任意的;若a,b都是单位向量,则a与b共线;向量AB与BA相等;若非零向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点共线.则所有正确命题的序号是()A.B.C.D.解析:根据零向量的定义可知正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故错误;向量AB与BA互为相反向量,故错误;由于方向相同或相反的向量为共线向量,故AB与CD也可能平行,即A,B,C,
2、D四点不一定共线,故错误.故选A.答案:A2.已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,3),若ab,则tan x等于()A.-3B.3C.33D.-33解析:由ab可得ab=0,即sin x+3cos x=0,于是tan x=-3.答案:A3.若点M是ABC的重心,则下列各向量中与AB共线的是()A.AB+BC+ACB.AM+MB+BCC.AM+BM+CMD.3AM+AC解析:A中,AB+BC+AC=2AC,与AB不共线;B中,AM+MB+BC=AB+BC=AC,与AB不共线;D中,3AM+AC显然与AB不共线;C中,AM+BM+CM=0,0AB,故选C.答案:C4.已知a,b是
3、不共线的向量,AB=a+b,AC=a+b,R,若A,B,C三点共线,则()A.+=2B.-=1C.=-1D.=1解析:A,B,C三点共线,ABAC,存在mR,使得AB=mAC,=m,1=m,=1,故选D.答案:D5.在ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于()A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)解析:如图,QC=AQ=PQ-PA=(1,5)-(4,3)=(-3,2),PC=PQ+QC=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),BC=3PC=(-6,21),故选A.答案:A6.已知平面向量a=(1,
4、2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于()A.-2B.-1C.1D.2解析:由已知得c=(m+4,2m+2).因为cos=ca|c|a|,cos=cb|c|b|,所以ca|c|a|=cb|c|b|.又由已知得|b|=2|a|,所以2ca=cb,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选D.答案:D7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=3,则OAOB等于()A.12B.-12C.14D.-14解析:设AB的中点为P.AB=3,AP=32.又OA=1,AOP=3.AOB=23.
5、OAOB=|OA|OB|cos23=-12.答案:B8.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab等于()A.12B.8C.-8D.2解析:由已知得|a|cos=ab|b|=4,于是ab=43=12.答案:A9.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b的夹角为()A.150B.120C.60D.30解析:设|a|=m(m0),a,b的夹角为.由题设,知(a+b)2=c2,即2m2+2m2cos =m2,得cos =-12.又0180,所以=120,即a,b的夹角为120,故选B.答案:B10.如图,在直角梯形ABCD中,ABAD,AD=DC=1,
6、AB=3,点P是BC的中点,设AP=AD+AB(,R),则+等于()A.43B.53C.56D.76解析:建立如图所示的坐标系,B(3,0),D(0,1),C(1,1).点P为BC的中点,P2,12.AP=AD+AB,2,12=(0,1)+(3,0)=(3,),3=2,=12,+=76.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则k=.解析:a-c=(3-k,-6).由(a-c)b,得3(3-k)=-6,解得k=5.答案:512.在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,
7、若AB+AD=AO,则=.解析:由已知得AB+AD=AC=2AO,即=2.答案:213.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.解析:AEBD=(AD+DE)(AD-AB)=|AD|2-ADAB+DEAD-DEAB=4-0+0-2=2.答案:214.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=.解析:建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).c=a+b,(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),即-+6=-1,+2
8、=-3,解得=-2,=-12,=4.答案:415.已知向量AB与AC的夹角为120,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为.解析:APBC,APBC=0,(AB+AC)BC=0,即(AB+AC)(AC-AB)=ABAC-AB2+AC2-ACAB=0.向量AB与AC的夹角为120,|AB|=3,|AC|=2,(-1)|AB|AC|cos 120-9+4=0,解得=712.答案:712三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在OADB中,设OA=a,OB=b,BM=13BC,CN=13CD.试用a,b表
9、示OM,ON及MN.解:由题意知,在OADB中,BM=13BC=16BA=16(OA-OB)=16(a-b)=16a-16b,则OM=OB+BM=b+16a-16b=16a+56b,ON=23OD=23(OA+OB)=23(a+b),则MN=ON-OM=23(a+b)-16a-56b=12a-16b.17.(8分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)求|a|的值;(2)求证:a+b与a-b互相垂直.(1)解:a=(cos ,sin ),|a|=cos2+sin2=1.(2)证明(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,a+b与a-b互相
10、垂直.18.(9分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)因为ca,a=(1,2),所以可设c=a=(,2).又|c|=25,所以2+42=20,解得=2.所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)依题意,得(a+2b)(2a-b)=0,即2|a|2+3ab-2|b|2=0.又|a|2=5,|b|2=54,所以ab=-52,所以cos =ab|a|b|=-52552=-1,而0,所以=.19.(10分)在ABC中,ABAC,M是BC的中点.(1)若|AB|
11、=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=2,求OAOB+OCOA的最小值.解:(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为,|AB|=|AC|=a,ABAC,ABAC=0,(AB+2AC)(2AB+AC)=2AB2+5ABAC+2AC2=4a2,|AB+2AC|=(AB+2AC)2=AB2+4ABAC+4AC2=5a,同理可得|2AB+AC|=5a,cos =(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|=4a25a2=45.(2)ABAC,|AB|=|AC|=2,|AM|=1.设|OA|=x(
12、0x1),则|OM|=1-x,而OB+OC=2OM,OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos =-2x(1-x)=2x2-2x=2x-122-12,当且仅当x=12时,OAOB+OCOA取得最小值-12.20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=13OA+23OB.(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求|AC|CB|的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x0,2,f(x)=OAOC-2m+23|AB|的最小值为-32,求实数m的值.(1)证明OC=13OA+23OB,OC-OA=23(OB-O
13、A),即AC=23AB.ACAB.又AC,AB有公共点A,A,B,C三点共线.(2)解:由(1)得AC=23AB=23(AC+CB),13AC=23CB,AC=2CB,|AC|CB|=2.(3)解:AB=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).x0,2,cos x0,1.|AB|=|cos x|=cos x.AC=2CB,OC-OA=2(OB-OC).3OC=2OB+OA=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),OC=1+23cosx,cosx.f(x)=OAOC-2m+23|AB|=1+23cos x+cos2x-2m+23cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x0,1.当m0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-32相矛盾,即m1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-32,得m=741.综上所述,实数m的值为74.
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