江苏南师大附中2007-2008学年度高三第一学期期中考试（数学）.doc

1、2007-2008学年度南师大附中高三第一学期期中考试数学试题（满分160分，考试用时120分钟）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60，那么a+b等于_.2 向量OA=(1,2),OB=(2，-1)，OC=(1+m,3)，若点A、B、C三点共线，则实数m应满足的条件为_.3 条件p:a1；条件q：存在x0，2，使ax.则p是q的_条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）4 若-/x/，要使cosx=2m-1成立，则实数m的取值范围是_5 Axx-12,Bx(x+1)(x-a)0，且A，则实数a的取值范围

2、是_6 等比数列an的前n项和为Snx3n-16，则常数x的值为_7 已知函数f(x)=lg(1-x)/(1+x)，若f(a)=12，则f(-a)=_8 设x1，则函数y=(x+2)(x+3)/(x+1)的最小值是_9 函数f(x)=3sinxcosx+cos2x（其中02），若函数f(x)图像的一条对称轴为x=/，那么=_10 已知数列an中，a1=1,a2=2,an=an-1-an-2（nN*，n3），则a2007_11 已知函数f(x)=-xax+b2-b+1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当x-1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是_ a，(ab

3、) 12定义运算a*bb,(ab) ，例如，1*，则函数f(x)=x*（-x）的最大值为_13 估测函数f(x)=ex-1/x的零点所在的区间是_(要求区间长度不超过0.25，e 2.71)14 数列an是正项等差数列，若bn(a1+2a2+3a3+nan)/(+n)，则数列bn也为等差数列.类比上述结论，若cn为正项等比数列，写出dn_，则数列dn也为等比数列.二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分12分)解关于x的不等式：(1-a)/(x-1)a(a0)16 (本小题满分14分)已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C

4、(cos，sin),(/，/) (1)若，求角的值；(2)若B=-1，求(2sin+sin2)/(tan)的值.17 (本小题满分14分)已知数列an的前n项和Sn=9-6n，且an+1nbn（nN*）(1)求数列an与bn的通项公式；1(2)求数列 n(2-logbn ) 的前n项和Tn 18 (本小题满分16分)某市原水价为1.5元/吨，从2006年5月1日起执行新的水价标准，实行分段计量水价：当家庭人口数不超过4人时，月用水量如表1所示；当家庭人口数超过4人时，人均月用水量如表2所示,水费由第一级别开始逐级计算，月用水量超出第一级别的部分按第二级别水价收取水费，月用水量超出第二级别的部分

5、按第三级别水价收取水费新的水价标准如表3所示.表1：月用水量级别第一级别第二级别第三级别月用水量x(吨)0x2525x33x33表2：月用水量级别第一级别第二级别第三级别人均月用水量(吨)0人均月用水量66人均月用水量8人均月用水量8表3：月用水量级别第一级别第二级别第三级别水价(元/吨)1.92.53 (1)某家庭有3口人，5月份的用水量为35吨，求该家庭在5月份的水费比实施新的水价标准之前多少元?(2)如果按新的水价标准收费，试写出某人口数为n(nN*且n4)的家庭某月的用水水费总额y(元)关于月用水量x(吨)的函数19 (本小题满分16分)设函数f(x)的定义域是(0，+)，对任意正实数

6、m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n)且当x1时，f(x)0f(2)=1(1)求f(1/2)的值；(2)求证：f(x)在(0，+)上是增函数；(3)求方程4sinxf(x)的根的个数20 (本小题满分18分)已知数列an、bn、cn的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（nN*），若数列bn是一个非零常数列，则称数列an是一阶等差数列；若数列cn是一个非零常数列，则称数列an是二阶等差数列(1)试写出满足条件a,b1=1，cn=1（nN*）的二阶等差数列an的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列an的通项公式an；(3)若数列an首项a，且满足cn-bn+1+3an

7、-2n+1（nN*），求数列an的通项公式数学参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1.3 2. m=-1/3 3.充分不必要条件 4. (3/4，1 5. -1，3 6. 1/6 7. -1/2 8. 6 9. 1/2 10. 1 11. b-1或b2 12. (3-5)/2 13. （0.5，0.75）不唯一 14. （c1c22c33cnn）1/(1+2+3+n)二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分12分）不等式可化为(ax-1)/(x-1)0，即（x-1）（ax-1）0，（2分）（1）若a=0，则不等式的解

8、集是xx1（4分）（2）若a0，则不等式可化为（x-1）(x-1/a)0，（6分）当0a1时，11/a，不等式的解集为x1x1/a；（8分）当a1时，11/a，不等式的解集为x1/ax1；（10分）当a=1时，不等式的解集为（12分）16 （本小题满分14分）（1）=（cos-3，sin），B=（cos，sin-3），（2分）=（cos-3）sin10-6cos，B=cos（sin-3）10-6sin（4分）由=B得sincos又(/，3/)，=5/（6分）（2）由B-1，得（cos-3）cossin（sin-3）=-1sincos=2/3（9分）又(2sinsin2)/(1+tan)(2si

9、n+2sincos)/(sin/cos)sincos（12分）由式两边平方得1+2sincos=4/9，2sincos=-5/9(2sinsin2)/(1+tan)-5/9（14分）17 （本小题满分14分）（1）当n=1时，a1=S1=3，（2分）当n2时，an=Sn-Sn-1=-6，（4分）即数列的通项公式为an 3（n=1），-6（n2）（6分）bnan+1/2n-6/2n（8分）（2）1/n2-log2(bn/) 1/n（n+1）=1/n-1/(n+1)（11分）故Tn(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/n-1/n+1)=n/(n+1)（14分）18 （本小题满分16分）（1）如

10、果按原来的水价，水费为35元，（3分）如果按新标准则3525，水费按三个级别来收取，251.9+（33-25）2.5+（35-33）3=73.5元，（6分）相差73.5-52.521元答：该家庭在5月份的水费比实施新的水价标准之前多21元（8分）（2）若n5时，当月用水量0x6n时，水费y=1.9x；（10分）当月用水量6nx8n时，水费y=1.9n+2.5（x-6n）；（12分）当月用水量x8n时，y=1.96n+2.5（8n-6n）+3（x-8n），（14分）综上所述：若n5时，某家庭某月的用水水费总额y（元）关于月用水量x（吨）的函数为1.9x 0x6n，y= 2.5x-3.6n 6nx

11、8n， （16分）3x-7.6n x8n19 （本小题满分16分）（1）令m=n=1，则f（1）f（1）+f（1）f（1）=0令m=2，n=1/2，则f（1）=f(21/2)=f（2）+f(1/2)（2分）f(1/2)=f（1）-f（2）= -1（4分）（2）设0x1x2，则x2/x11，当x1时，f（x）0，f(x2/x1)0（6分）f（x2）f(x1x2/x1)f（x1）+f(x2/x1)f（x1）（8分）f（x）在（0，+）上是增函数（10分）（3）y=4sinx的图像如下所示，由图可知y最大值为4，又f（4）=f（2）2f（2）=2，f（16）=f（4）f（4）=4（12分）由y=f（

12、x）在x0单调递增，且f（1）=0，f（16）=4可得f（x）的图像大致形状如上所示，由图可知，y=4sinx的图像与y=f（x）的图像在，内有一个交点，在（2，内有两个交点，在（4，内有两个交点，又5，所以总共有5个交点方程4sinxf（x）的根的个数是5（16分）20 （本小题满分18分）（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11（4分）（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，所以bn=（bn-bn-1）（bn-1-bn-2）（bn-2-bn-3）+（b2-b1）+b1=1+1+1+1=n（6分）又an+1-an=bnn，n=1，2，3，所以an（an-an-1

13、）（an-1-an-2）（an-2-an-3）+（a2-a1）a=（n-1）+（n-2）+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2（10分）（3）由已知cn-bn+1an= -2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an-2n+1，即bn-3an=2n+1，an+1=4an+2n+1（12分）解法一：整理得：an+1n+1=4（an+2n），（15分）因而数列an+2n是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，an+2n44n-1n，即an=4n-2n（18分）解法二：在等式an+14an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/n+1=2an/2n（15分）令kn=an/2n，则kn+1kn+1，即kn+1（kn+1）故数列kn+1是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=22n-1n，即kn=2n-1an=2nkn=2n（n-1）=4n-2n（18分）解法三：a，a2（2-1），a3（-1），a4（-1）猜想：an=2n（2n-1）n-2n（15分）下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a4-2，猜想成立；（ii）假设n=k时，猜想成立，即ak=4k-2k那么当n=k+1时，ak+1ak+2k+1（4k-2k）k+1=4 k+1-2 k+1，结论也成立由（i）、（ii）可知，an=4n-2n（18分）