1、第二节参数方程A组基础题组1.已知P为半圆C:(为参数,0)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程.2.(2016河北衡水调研)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2sin-2cos.(1)求曲线C的参数方程;(2)当=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.3.(2016河北石家庄一模)在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系
2、相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.4.(2016河南八市重点高中质检)已知曲线C的参数方程为(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程;(2)若点A在曲线C上,点D(1,3),当点A在曲线C上运动时,求AD中点P的轨迹方程.5.已知直线l:t为参数,kZ经过椭圆C:(为参数)的左焦点F.(1)求m的值;(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|FB|的最小值.6.(2016甘肃三校联考)在直角坐标系xOy中,
3、直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为=6sin.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.B组提升题组7.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2.(1)分别写出C1的普通方程,C2的直角坐标方程;(2)已知M,N分别为曲线C1的上、下顶点,点P为曲线C2上任意一点,求|PM|+|PN|的最大值.8.(2016豫南九校3月联考)在直角坐标系
4、xOy中,设倾斜角为的直线l:(t为参数)与曲线C:(为参数)相交于不同的两点A,B.(1)若=,求线段AB的中点M的坐标;(2)若|PA|PB|=|OP|2,其中P(2,),求直线l的斜率.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)由已知,M点的极角为,且M点的极径等于,故点M的极坐标为.(2)M点的直角坐标为,A(1,0),故直线AM的参数方程为(t为参数).2.解析(1)由=2sin-2cos,可得2=2sin-2cos.所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.曲线C的参数方程为(为参数).(2)当=时,直线l的方程为化成普通方程为y=
5、x+2.由解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为,(2,).3.解析(1)=cos,x2+y2=x,即+y2=.(2)设P(2cos,sin),易知C2,|PC2|=,当cos=时,|PC2|取得最小值,|PC2|min=,|PQ|min=.4.解析(1)将代入得曲线C的参数方程为曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设点P(x,y),A(x0,y0),D(1,3),且AD的中点为P,又点A在曲线C上,代入C的普通方程+y2=1,得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.5.解析(1)椭圆C:的普通方程为+=1,F(-1,0).直线l:的
6、普通方程为y=tan(x-m),其中,kZ,0=tan(-1-m),m=-1.(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程+=1中,并整理,得(3cos2+4sin2)t2-6tcos-9=0.设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则|FA|FB|=|t1t2|=,当sin=1时,|FA|FB|取得最小值,为.6.解析(1)由=6sin得2=6sin,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos-sin)t-7=0.由已知得=(2cos-2sin)2+
7、470,所以可设t1,t2是上述方程的两根,则由题意得直线l过点(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=2.所以|PA|+|PB|的最小值为2.B组提升题组7.解析(1)曲线C1的普通方程为+=1.曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)解法一:由曲线C2:x2+y2=4,可得其参数方程为(为参数),设P点坐标为(2cos,2sin),又由题意可知M(0,),N(0,-),因此|PM|+|PN|=+=+,所以(|PM|+|PN|)2=14+2.所以当sin=0时,(|PM|+|PN|)2有最大值28.因此|PM|+|PN|的最大值为2.解法二
8、:设P点坐标为(x,y),则x2+y2=4,又由题意可知M(0,),N(0,-),因此|PM|+|PN|=+=+,所以(|PM|+|PN|)2=14+2.所以当y=0时,(|PM|+|PN|)2有最大值28.因此|PM|+|PN|的最大值为2.8.解析(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是+y2=1.当=时,设点M对应的参数为t0.直线l的方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程+y2=1,得13t2+56t+48=0,设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2.则t0=-,所以点M的坐标为.(2)将代入曲线C的普通方程+y2=1,得(cos2+4sin2)t2+(8sin+4cos)t+12=0,因为|PA|PB|=|t1t2|=,|OP|2=7,所以=7,得tan2=.由于=32cos(2sin-cos)0,故tan=.所以直线l的斜率为.