1、6.2.4 向量的数量积2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学一、新知自学1.向量的夹角：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的 .记作 .当时，向量 ；当时，向量垂直，记作 ；当 时，向量反向.2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的 （或内积），记作 ，即 .3.投影向量的定义：如图，设是两个非零向量，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量 ，叫做向量在向量上的 .4.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则（1） .（2） .（3）当
2、与同向时， ；当与反向时， .特别地，或.（4）由可得， .（5） 5.向量数量积的运算律：交换律： ；数乘结合律： ；分配律： .二、问题思考1.求向量的数量积的关键点是什么？2.求向量的模的常见思路及方法？3.求向量夹角的方法有哪些？三、练习检测1.已知，向量的夹角为，则( )A.B.1C.2D.2.已知，如果，那么的值为( )。A.B.C.D.3.在中，.若，则( )A.-18B.C.18D.4.（多选）已知a，b，c是三个向量，则下列结论中错误的是( ).A.B.C.D.若，则5.已知是与方向相同的单位向量.若在上的投影向量为，则_.【答案及解析】一、新知自学1.夹角 同向 2.数量积
3、 3.投影 投影向量4. 5. 二、问题思考1.求向量的数量积时，需掌握相关向量的模和夹角两个关键点.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.2.（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方.（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.（3）一些常见的等式应熟记，如，等.3.（1）求出，代入公式求解.（2）用同一个量表示，代入公式求解.（3）借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角.注意向量夹角的范围是.三、练习检测1.答案：C解析：.故选C.2.答案：C解析：由题意知，即，所以，解得。3.答案：C解析：如图，在中，.若，则.故选C.4.答案：CD解析：因为向量的数量积公式满足交换律和分配律，所以A，B正确；表示与向量c共线的向量，表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；，那么或或，故D不正确.故选CD.5.答案：4解析：设与的夹角为.又在上的投影向量为.
