1、天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014-2015学年高中毕业班阶段性测试（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A=，B，则（ ）A. B. C. D. (2)已知复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为 ( )A2 B. 2 C.1 D.-1 (3)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 (4)下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是 （ ）A. B. C. D. (5)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图（其中a、b为数字0-9中的一个），分别去掉一个最
2、高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为，得分的方差分别为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. (6)设等差数列的前n 项和为，若则正整数k=（ ）A.10 B.11 C.12 D.13 (7)执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框中应填入的条件是 （ ）A. B. C. D.(8)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A48- B. C. D. (9)若变量x,y满足约束条件则Z=2x-y的最大值为（ ）A.2 B.5 C.1 D.4 (10)已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.两个函数的图像均关于点成中心对称B. 的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原
3、来的2倍，再向右平移个单位即得的图像C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同（11）抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，又点A，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. (12)若定义在R上的函数满足且当时，则函数在区间上的零点个数为 （ ）A.4 B.8 C.6 D.10第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. (13)已知向量，则实数的值为 (14)的展开式中含项的系数为，则的值为 (15)三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的
4、表面积为 (16)已知函数，若数列满足，数列的前m项和为，则 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】(17)(本小题满分12分)在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。(I)求的值.(II)若，求a和c. (18)(本小题满分12分)某品牌汽车的4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示： 已知分3期付款的频率为0.15，并且4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率.（I）求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的
5、概率；（II）用X表示销售一辆该品牌汽车的利润，求X的分布列及数学期望(19)(本小题满分12分)如图，正四棱锥的高为3，底面边长为2，E是棱PC的中点，过AE作平面与棱PB、PD分别交于点M、N（M、N可以是棱的端点）.(I)当M是PB的中点时，求PN的长;(II)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.(20)(本小题满分12分)定圆M：，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.（I）求轨迹E的方程；（II）设点A，在E上运动，A与B关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线AB的方程（）（本小题满分分）已知函数且的图像在外的切线方程为，其中为自然对数的底数（I）讨论的极值情况；（II）
6、当时，求证：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，ADBC于点D,过点B作圆O的切线，与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P. （）求证：BF=EF; （）求证：PA是圆O的切线. 23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，是过定点P（4,2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C的极坐
7、标方程为.（）写出直线的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线相交于不同两点M、N,求的取值范围.24) (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式的解集为A.（）若a=1，求A;（）若A=R,求a的取值范围.天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）20142015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.题号123456789101112答案CACBCDBCBCAC二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.（13） （14）或 （15） （16） 三、解答题（17）解：（）由正弦定理得又，所以，（2分）
8、即，所以， 即，又，所以.（6分）（）由得，又，所以.（8分）由，可得，所以，即，所以.（12分）（18）解：（）由，得，因为，所以，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率（4分）（）记分期付款的期数为,依题意得，（6分）因为的可能取值为,并且，.（10分） 所以的分布列为所以的数学期望为（万元）.（12分）（19）解：（）当是的中点时，.因为平面，所以平面，所以.又，所以、两点重合.所以.（4分）（）解法一：连接、交于点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则（6分）设平面的一个法向量为则令，得（8分）设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.（12
9、分）解法二：设直线与平面所成的角为.因为，所以，所以.（6分）由余弦定理，得,故.因为，易得，（8分）所以点到平面的距离，故，所以直线与平面所成角的正弦值为.（12分）（20）解：（）因为点在圆内，所以圆内切于圆.因为，所以点的轨迹为椭圆，且,所以，所以轨迹的方程为.（4分）（）（i）当为长轴（或短轴）时，依题意知，点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时.（5分）（ii）当直线的斜率存在且不为时，设其斜率为，直线的方程为，联立方程得所以 .（7分）由知，为等腰三角形，为的中点，所以直线的方程为，由解得，（9分），由于，所以，（11分）当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是.因为，所以面积
10、的最小值为，此时直线的方程为或.（12分）（21）解：() 函数的定义域为， 当时，在上为增函数，没有极值；（2分）当时，若，则；若，则,存在极大值，且当时，.（4分）综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时，.（5分）() 函数的导函数，.，.（6分）当时，令，则， ，且在上为增函数，设的根为，则，即，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，（9分）.（10分），由于函数在上为增函数，.（12分）（22）证明：（） 因为是圆的直径，是圆的切线，所以.又因为，所以，可知， ，所以，所以.因为是的中点，所以，所以是的中点，. （5分）（）如图，连接，因为是圆的直径，所以在中，由（）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以因为是圆的切线，所以.因为，所以是圆的切线.（10分）（23）解：（）直线的参数方程为为参数.（2分）因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.（4分）（）将代入中，得，则有（6分）所以.又，所以，（8分）由得，所以.（10分）（24）解：（）当时,原不等式化为, 得；当时,原不等式化为,得；当时，原不等式化为,得，综上，或.（5分）（）当即时,成立，当即时, ，得或, 所以或,得.综上，的取值范围为.（10分）
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