1、考点12排列、组合、二项式定理正确运用两个基本原理排列组合二项式定理在等可能性事件的概率中考查排列、组合利用二项式定理解决三项以上的展开式问题利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1（典型例题）已知集合A=B=1，2，3，4，5，6，7，映射f:AB满足f(1)f(2)f(3)f(4),则这样的映射f的个数为 （ ）AC47A33 BC47 C77 DC7473考场错解 f(1)f(2)f(3)f(4)，且f(1)f(2)f(3)f(4)的值为1，2，3，4，5，6，7中的某4个，这样的映射有C47个，选B专家把脉 C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情
2、，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。对症下药 由映射的定义f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为1，2，3，4，5，6，7中的某4个，又f(1)f(2)f(3)2n-3(n2+3n+8)(n2n+n2n-1+2n-2=2n-38+4n+n2-n=2n-3(n2+3n+8)探究开放题预测预测角度 1在等可能性事件的概率中考查排列、组合1 A、B、C、D、E五人站成一圈传球，每人只能把球传给他的邻人，A传出（算第一次）后经10次传球又回到A的概率为 （ ）解题思路 本题的概率是一个等可能性事件的概率，基本事件总数为210，（因为每一次传球都有两种可能），经10次传球
3、又回到A这个事件，应考虑传球的方向。解答 因为每一次传球都有两种可能，传球10次的可能结果为210，即基本事件总数为210，传球10次又回到A应分两种情况：（1）一直是顺时针或逆时针传球，有2种可能；（2）有逆时针又有顺时针传，则应是顺时针、逆时针各传次，问题即为10次传球中，哪5次是逆时针传，共有C510种可能，由于上述两种情况互斥。传球10次又回到A的可能有C510+2=254。所求事件的概率为选C。2 某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起，而二班的2位同学没有被排在一起的
4、概率为 （ ）解题思路 基本事件总数为A1010，而事件A包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相邻问题，按“捆绑法”与“插空法”求解。解答 10个人的演讲顺序有A1010种可能，即基本事件总数为A1010，一班同学被排在一起，二班的同学没有被排在一起这样来考虑：将一班的3位同学当作一个元素与其他班的5位同学一起排列有A66种，考虑这3位同学之间的顺序，不同的排法有A66A33A27种。所求概率为。选B。3 9支足球队参加一地区性足球预选赛，将这9支球队任意地均分为3组，则A、B两个“冤家队”恰好分在同一组的概率为 （ ） 解题思路 可以选将3组取名为甲、乙、丙加以区分，后用排列、组合、概率的知
5、识解之，也可以先锋将A安排好，再安排B来解。解答 解法一 将9支球队任意地均分为甲、乙、丙3组有C39C36C33种分法,而A、B两队可在3组之一，选定某组后再从其它7队中任选1队到该组，剩下的两组还有C36C33种配合法，故A、B同组的可能有3C17C36C33。所求事件的概率为选B。解法二 9支球队可分为3组，每组3队，视作3个空位，A队先占其中一组的一个空位，现在让B队在余下的8个位置任选其一，有8种选法，而其中只有2种选法属于A、B同组。选求概率为选B。预测角度 2利用二项式定理解决三项以上的展开式问题1（1-3x+2y）n的展开式中不含y的项的系数和为 （ ）A2n B-2n C(-
6、2)n D1解题思路 将（1-3x+2y）看作(1-3x)+2y两项，利用二项式定理的有关知识解之。解答 （1-3x+3y）n=(1-3x)+2yn,而(1-3x)+2yn的展开式中不含y的项为C0n(1-3x)n=(1-3x)n,而(1-3x)n的展开式中各项的系数和为（-2）n(令x=1即可)。选C。2（1+2x-3x2）6展开式中的x5项的系数为 （ ）A86 B168 C-168 D-8748解题思路 可以将其中两项当作一项，再利用二项式定理求解。但若注意1+2x-3x2可以分解因式，将（1+2x-3x2）6分成两个项式的乘积来求解将会更方便简捷。解答 （1+2x-3x2）6=（1+3
7、x）6(1-x)6, 展开式中的x5项的系数由6部分组成：（1）前5次方，后0次方法将（1+3x）6称为“前”，（1-x）6称为“后”。系数为C56（3）5;(2)前4次方，后1次方，系数为C46（3）4（-C16）；（3）前3次方，后2次方，系数为C3633C26；（4）前2次方，后3次方，系数为C26（3）2（-C36）；（5）前1次方，后4次方，系数为C163C46；（6）前0次方，后5次方，系数为-C56。展开式中x5项的系数为C5635+C4634（-C16）+C3633C26+C2632（-C36）+C163C46-C56=-168。选C。预测角度 3利用二项式定理证明不等式1 过
8、点P（1，0）作曲线C：y=xk,x(0,+)，kN*,k1的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影是点P1;又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上投影为点P2，如此继续下去得到一系列点Q1，Q2，Qn，设点Qn的横坐标为an.（1）求证：（2）求证：（3）求证：解题思路 利用已知条件，找到an的递推式，再求通项；第（2）问的证明可用二项式定理；第（3）问可用错位相减法。解答 （1）y=kxk-1,过点Qn(an,akn)的切线方程为y-akn=kak-1n(x-an),当n=1时，切线过点p(1,0),0-ak1=kak-11(1-a1),得a1=;当n1时，切线过点Pn-1(
9、an-1,0),即有0-akn=kak-1n(an-1-an)得数列an是首项为，公比为的等比数列。an=()n;(2)由（1）知an=()n=(1+)n=C0n+C1n+C2n()2+Cnn()nC0n+C1n=1+；(3)记则，两式相减得（第（2）问也可以用数学归纳法加以证明）考点高分解题综合训练1 将1，2，3，9这9个数字填在33的正方形方格中，要求每一列从上到下的依次增大，每一行从左到右均依次增大，当4固定在中心位置时，则填写空茖的方法有 （ ）A6种 B12种 C18种 D24种答案： B 解析：首先确定1、9分别在左上角和右下角，2、3 只能在4的上方和左方，有2种填方，5，6，
10、7，8填在其它位置有=6种方法依分步计数原理有2=12种填法，所以选B 2 某重点中学要把9台相同的电脑送给农村三所希望小学，每个小学到少2台电脑，不同的送法种数为（ ）A10种 B9种 C8种 D6种答案： A 解析：先每所学校送1台电脑，剩下6台电脑分给三所学校，每校至少1台，用隔板法，有=10种选A. 3B 解析：基本事件总数为+=15，而倒出奇数粒的可能是+=8，倒出奇数粒玻璃球的概率为，倒出偶数粒玻璃球的概率为，选B3 从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球茎（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比例出偶数粒玻璃球的概率 （ ）A小 B大C相等
11、D大小不能确定4 将二项式（）n的展开式按x降幂排列，若前三项系数成等数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 （ ）A1项 B3项 C5项 D7项答案： B 解析：()n的展开式按x的降幂排列，前三项的系数为，由已知有=，解得n=8或1，舍去n=1n=8，()8的展开式的通项为x()rx-=()rx，当r=0，4,8时为整数，x的幂指数是整数的项共有3项，选B 5 已知f(n)=3n-C1n3n-1+C2n3n-2-+(-1)n+log2n(nN*),当n=_时,|f(n)-2005|取得最小值。答案：11 解析f(n)=3n-3n-1+(-1)n+log2n=(3-1)n+log2n=2
12、n+log2n， |f(n)-2005|=|2n+log2n-2005|当n=11时，|2n+log2n-2005|取最小值填11 6 用五个数字0，1，1，2，2组成的五位数总共有_。答案： B 解析：将0放在不是首位的其它4个位置上有种方法，再在剩下的4个位置选2个位置放1，剩下2个位置放2，有种方法，依分步计数原理，共有这样的五位数共有=24个选B 7 在（4x2+3x+2）5的展开式中，分别求：（1）x的系数；答案：(4x2+3x+2)5=4x2+2+3x5，Tr+1=(4x2+2)5-r(3x)r，求x的系数，只有r=1，x的系数为324=240（2）x2的系数；(4x2+3x+2)
13、5=4x2+(3x+2)5，Tr+1= (4x2)5-r(3x+2)r，要求x2的系数，r=4或r=5才有可能，当r=4时，x2的系数为 424=320，当r=5时，x2的系数为3223=720当r=4时x2的系数为320展开式中x2的系数为320+720=1040（3）常数项答案：常数项为25=328 若nN*,n100,且二项式(x3+)n的展开式中存在常数项，求所有满足条件的n的值的和。答案：解：(x3+)n的展开式的通项为Tr+1=x3(n-r)x-2r=x3n-5r，存在常数项，3n-5r=0 r=n，n为5的倍数，满足条件的n的值的和为950 9 一条走廊宽2m，长6m,现用6种不
14、同颜色，大小均为11m2的整块单色地板砖来铺设，要求相邻的两块地砖颜色不同，假定每种颜色的地砖都足够多，那么不同的铺设方法有多少？答案：解析：将走廊看作6列12m2的图案，先铺第一列，有=30种方法，再铺第二列，分三类：(1)与第一列两块颜色均不相同，有=12种(2)与第一列仅有一块相同，有2=8种；(3)与第一列两块颜色均相同，仅有1种，故铺第二列共有12+8+1=21种方法，同理以后各列均有21种方法，故不同的铺设方法共有 30215种 10 若（x+1）+(x+1)2+(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n,求a0+a1+an.答案：解：令x=2，得a0+
15、a1+an=3+32+3n= 11 从集合1，2，3，20中选3不同的数使这3个数成递增的等差数列，则这样的数列共有多少个？答案：解：(解法一)公差为1的等差数列有18个；公差为2的等差数列有16个；依此类推，公差为9的等差数列有2个这样的等差数列共有2+4+16+18=90个 (解法2)取出三个数a、b、c要构成等差数列，则2b=a+c，因此a+c必须为偶数，则a与c同为奇数或同为偶数这样的等差数列共有=90个12 将一个四棱锥的每个顶点染上颜色，使同一条棱上的两端点异色，如果有5种颜色或供使用，那么不同的染色方法总数有多少种？答案：解：将四棱锥记为S-ABCD，先染S、A、B由于颜色各不相
16、同，有=60种方法；再染C、D，若C的颜色与A相同，则D的染色方法数为3种，若C的颜色与 A不相同，则C的染色方法有2种，D的染色方法为2种，依两个基本原理，不同的染色方法数为(3+22)=420种 13 两条异面直线称为“一对”，连结正方体的八个顶点的所有直线中，异面直线共有多少对？答案：解：一对异面直线需要4个不共面的点，而4个点每两点连线中可得3对异面直线，现在只要求出从这8个点中选4个不共面的点方法数，用间接解法，总数 有种，其中共面的四个点有两类，一类是共于表面的有6种，另一类为共面于对角面的有6种，选4个不共面的点方法数为-6-6=58种用此可得异面直线的对数为358=174 14
17、 已知函数f(x)=f(2)=2f(3)3,且f(x)的图像按向量e=(-1,0)平移后得到的图像关于原点成中心对称图形。（1）求a、b、c的值;答案： f(x)的图象按向量e=(-1，0)平移后得到函数y=，由已知该函数为奇函数，c=0，又f(2)=2，a+1=2b,f(3)3，4a+16b得a2，又aN,a=0或a=1，若a=0，此时b=与bN矛盾，a=1,b=1，f(x)=(2)设0|x|1,0|t|1，求证：|t+x|+|t-x|f(tx+1);答案：|t+x|+|t-x|= 而|f(tx+1)|= (tx1) |t+x|+|t-x|2，原不等式成立(3)设x是正实数，求证f(x+1)n-f(xn+1)2n-2.答案：f(x+1)n=(x+)n=xn+x2-n,f(xn+1)=xn+;记Tn=f(x+1)n-f(xn+1)=Tn2n -2原不等式成立 (第(3)问可以用数学归纳法加以证明)
