1、4.4 对数函数4.4.2对数函数的图象和性质 复习导入 活动1：请同学们回顾一下对数函数的概念？下面我们类比研究指数函数性质的过程与方法，进一步研究对数函数.与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质.因为指数和对数是可以互换的，因此可以猜想底数对对数函数的图象也会有影响.现在我们不妨先画出函数=、=的图象.新知探索 活动2：请同学们完成,的对应值表，并用描点法画出函数=、=的图象.=0.5-1 1 1 0 0 2 1-1 4 2-2 8 3-3 新知探索 为了得到指数函数=(0，且 1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.活动3：请同学们画出函数=、
2、=的图象.新知探索 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数，比如=2、=12，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？新知探索 利用换底公式，可以得到=12=2.因为点(,)与点(,)关于轴对称，所以函数=2图象上任意一点(,)关于轴的对称点(,)都在函数=12上，反之亦然.(,)(,)新知探索 由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数=2的图象，画出=12的图象.新知探索 活动4：选取底数(0，且 1)的若干值，在同
3、一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.(=2,=3,=4;=12,=13,=14)新知探索 活动5：请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出指数函数=(0，且 1)的值域和性质.选取底数 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数=的图象按照底数的取值，可分为0 1两种类型.因此，指数函数的性质也可以分为0 1两种情况进行研究.新知探索 活动5：请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出指数函数=(0，且 1)的值域和性质.不难看出:这些图象都经过点(1,0);其定义域都是(0,+);值域是;当0 1时，=在(0,+)上单调递
4、增.新知探索 指数函数图象的其它特征：在直线=1的右侧，1时，越大，图象越低，简称“底大图低”；0 0，且 1),我们刚刚的发现是否成立.新知探索 一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：例析 例3.比较下列各题中两个值的大小：(1)23.4，28.5；(2)0.31.8，0.32.7；(3)5.1，5.9.解：(1)=2在定义域上单调递增 而3.4 8.5，23.4 28.5.(2)=0.3在定义域上单调递减 而1.8 0.32.7.(3)=当 1时，=在定义域上单调递增 而5.1 5.9,5.1 5.9.当0 1时，=在定义域上单调递减 而5.1 5.9.例析 例4.溶液酸碱度的测量.溶液
5、酸碱度是通过计算的.的计算公式为=+，其中+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；解(1)：根据对数的运算性质，有 =+=+1=1+.在(0,+)上，随着+的增大，1+减小，相应地，1+也减小，即 减小.所以，随着+的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.例析 例4.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为=+，其中+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(2)已知纯净水中氢离子的浓度为+=107摩尔/升，计算纯净水的.解(2)：当+=107时，=107=7.所以纯净水
6、的是7.新知探索 前面根据指数与对数的关系，由=(12)5730(0)得到=(0,且 1)与对数函数=(0,且 1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.新知探索 由指数函数和对数函数的图象，我们可以大胆猜想互为反函数的两个函数图象关于直线=对称.活动7：下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数(0，且 1),我们刚刚的发现是否成立.练习 题型一：对数函数的图象问题 例1.(1)函数()=(|1)的大致图象是().解：由()=(|1)=(|1)=()，得()为偶函数，由此排除C,D两个选项.又因为当 1时，()单调递增，故选B.练习 例1.(2)如图，若1，2分别为
7、函数=和=的图象，则().A.0 1B.0 1 D.1 解：由图知，对数函数在定义域内单调递减，所以0 1,0 .故选B.练习 变1.画出函数=|2(+1)|的图象，并写出函数的值域和单调区间.解：由图可知,其值域为0,+),单调递增区间为0,+)，单调递减区间为(1,0).练习 题型二：比较对数值的大小 例2.比较下列各组数的大小.(1)534，543；(2)132，152；解：(1)对数函数=5在(0,+)上单调递增，而34 43，534 543.(2)132，152；解：(2)由于132=1213，152=1215，又对数函数=2在(0,+)上单 调递增，且0 15 13 1，215 2
8、13 12131215，即132 22=1，54 54.题型二：比较对数值的大小 例2.比较下列各组数的大小.练习 变2.(2019年全国卷1)已知=20.2，=20.2，=0.20.3则（）.A.B.C.c D.解：=20.2 20=1，=0.20.3 0，即0 1.17(4 )；解：(1)据题意得：0 4 0 4 解得0 2.即不等式的解集为|0 1；解：(2)当 1时，12 1=，解得 12.此时，无解.当0 1=，解得 12.此时，12 1.即不等式的解集为|12 (1).解：(3)当 1时，当0 0 1 0 2 5 1 解得 4.即不等式的解集为|4.2 5 0 1 0 2 5 1
9、解得 4.即不等式的解集为|1时，解集为|4；当0 1时，解集为|4.练习 变3.(1)若13(5+)0 1 0 5+1 解得2 1.即不等式的解集为|2 1.练习 变3.(2)若(2+1)2 0,且 1，所以有2+1 2.又(2+1)2 0，0 1，即 12.综上，(12,1).练习 对数不等式的三种考查类型：1.形如 的不等式，借助对数函数=的单调性求解.2.形如 的不等式，应将化为以为底的对数式的形式(=)，再借助=的单调性求解.3.形如 的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.注：底数中若含有参数，一定要注意底数的范围，并进行分类讨论.课堂小结&作业 课堂小结：(1)对数函数的图象性质；(2)比较对数式大小的类型及处理方法.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P135的1-3题，P160的2题&P161的11题.