1、新课程标准 核心素养 1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性；数据分析直观想象2.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异,并能解决相关问题；逻辑推理3.能正确地选择函数模型解决实际问题.数学建模 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题:现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远买不起房子的价格逐年构成什么样的函数?这个人的逐年收入构成什么函数?你能给出这道题的答
2、案吗?为什么?在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？xyO 0f xkx kxyO 1xg xaaxyO log1ah xx axyOxyOxyOyx3yxyx 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k0，指数函数 g(x)=ax(a1)，对数函数在定义域内增长方式的差异.log 1ah xx a 我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法 以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.xy=2xy=2x01
3、00.51.41411221.52.82832442.55.6575386.观察两个函数图象及其增长方式：结论一：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)结论三：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下结论二：在区间(0,1)，(2,3)上函数y=2x的图象位于y=2x之上xyo12综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.总结一：函数y=2x与y=2x在0,+)上增长快慢的不同如下：虽然函数y=2x与y=2x在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次
4、”.随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定范围内，2xx0时，恒有2x2x.总结二：一般地指数函数y=ax(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长都与上述类似即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a1)虽然有一段区间会小于y=kx(k0)，但总会存在一个x0，当xx0时，y=ax(a1)的增长速度会大大超过y=kx(k0)的增长速度.以函数y=lgx与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.110yxxy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786xy102030405060
5、123456O110yxy=lgx总结一：虽然函数y=lgx与在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.110yx在(0,+)上增长速度不变，y=lgx在(0,+)上的增长速度在变化.110yx110yx 随着x的增大，的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.110yx总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数y=kx(k0)在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.log 1ayx a 随着x的增大，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.log1ayx a不论a值比k值大多少，在一定范围内，logax 可能会大于kx，但由于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，恒有 logax0，指数函数g(x)=ax(a1)，对数函数yloga x(a1)在定义域上的不同增长方式.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数