1、核心素养测评六十九 离散型随机变量与其他知识的综合问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)= 2.4,PP,则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【解析】选B.由题意可知XB(10,p),故D(X)=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,当p=0.6时,P(X=4)=0.640.46=22,P(X=6)=0.660.44=32,满足P(X=4)P(X=6),所以p=0.6;同理可验证p=0.4时不满足P(X
2、=4)P(X=6).【快解】选B.由题意可知XB(10,p),故D(X)=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,由P(X=4)P(X=6),即p4(1-p)6.2.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()A.4.56% B.13.55%C.27.18% D.31.74%【解析】选B.用表示零件的长度误差，服从正态分布N(0，32)，根据正态分布的性质，得P(36)=P(-66)-P(-33)=0.135 5.3.(多选)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0
3、p1p2,则()A.E(1)D(2)C.D(1)E(2)【解析】选AC.根据已知得i(i=1,2)服从两点分布,由两点分布的均值和方差知E(i)=pi,D(i)=pi(1-pi),因为0p1p2,所以E(1)=p1p2=E(2),D(1)-D(2)=p1-(p2-)=(p1-p2)1-,已知p1p2,p1+p21,所以D(1)-D(2)0,即D(1)D(2).4.某班有14名学生数学成绩优秀,如果从该班随机找出5名学生,其中数学成绩优秀的学生数XB,则E(2X+1)=()A.B.C.3D.【解析】选D.因为XB,所以E(X)=,所以E(2X+1)=2E(X)+1=2+1=.5.设每天从甲地去乙
4、地的旅客人数为随机变量服从均值为800，标准差为50的正态分布，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()(参考数据：若XN(，2)，有P(-X+)=0.683，P(-2X+2)=0.954，P(-3900)=0.022，所以P(X900)=1-0.022=0.977.6.设离散型随机变量1B,2B,0p1p2D(2)B.D(1)D(2)C.D(1)=D(2)D.当D(2),当时,D(1)D(2),当=时,D(1)=D(2)【解析】选D.因为二项分布的方差为D()=20p,所以函数p是二次函数,对称轴是p=,开口向下,所以离对称轴近的自变量的函数值大,所以D正确,A,B,C都不对.
5、7.2019年4月,习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作.为了进一步解决“两不愁,三保障”的突出问题,当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研,要求每个乡镇至少安排一名专家,则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,5名专家分到3个不同的乡镇,共有2种情况,1种情况为1,1,3人,另1种情况为1,2,2人.那么P(A)=,所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为:P()=1-P(A)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中
6、X5为标准A,3X5为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,假定甲厂的产品都符合相应的执行标准.已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如表所示:X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)=6,则a,b的值分别为_,_.【解析】因为E(X1)=6,所以50.4+6a+7b+80.1=6,即6a+7b=3.2.又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.由解得答案:0.30.29.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=_.【解析】依题可得E(X)=np=30且D(X)=np(1-p)=20,解得p=.答案:10.已知离
7、散型随机变量X的分布列为X0123Pp若Y=X+1,则Y的均值为_,方差为_.【解析】因为+p=1,所以p=,所以E(X)=0+1+2+3=,D(X)=+=.所以E(Y)=E(X)+1=,D(Y)=D(X)=.答案:(15分钟35分)1.(5分)(2019浙江高考)设0a1,随机变量X的分布列是X0a1P则当a在(0,1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大【解析】选D.由表可以求得E(X)=0+a+1=+a,E(X2)=0+a2+1=+a2,所以由D(X)=E(X2)-=+a2-=a2-a+=+,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先
8、减小后增大.2.(5分)已知离散型随机变量X服从两点分布,即XB(1,p)(0p1),则方差D(X)最大时,p=()A.B.C.D.【解析】选A.因为XB,所以D(X)=p,当且仅当p=1-p,即p=时取等号.3.(5分)已知随机变量XB(2,p),YN(2,2),若P(X1)=0.64,P(0Y4)=_.【解析】方法一:随机变量XB(2,p)表示两次独立重复试验,每次试验事件A发生的概率为p,P(X1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=0.64,所以,p2-2p+0.64=0,(p-0.4)(p-1.6)=0,所以p=0.4(p=1.6舍).因为YN(2,2),P(0Y2)=
9、p,所以P(2Y4)=1-P(0Y4)=(1-2p)=0.5-p=0.5-0.4=0.1.方法二:随机变量XB(2,p)表示两次独立重复试验,每次试验事件A发生的概率为p,P(X1)=1-P(X=0),所以P(X=0)=0.36.所以,P(X=0)=(1-p)2=0.36,所以p=0.4.因为YN(2,2),P(0Y2)=p,所以P(2Y4)=1-P(0Y4)=(1-2p)=0.5-p=0.5-0.4=0.1. 答案:0.14.(10分)某种类型的题目有A,B,C,D,E共5个选项,其中有3个正确选项,满分5分.赋分标准为“选对1个得2分,选对2个得4分,选对3个得5分,每选错1个扣3分,最低
10、得分为0分”.在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目,已知此题的正确答案为ACD,假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.(1)若甲同学无法判断所有选项,他决定在这5个选项中任选3个作为答案,求甲同学获得0分的概率.(2)若乙同学只能判断选项AD是正确的,现在他有两种选择:一种是将AD作为答案,另一种是在B,C,E这3个选项中任选一个与AD组成一个含有3个选项的答案,则乙同学的最佳选择是哪一种,请说明理由.【解析】(1)甲同学在这5个选项中任选3个作为答案得分为0分,只有一种情况,那就是选了1个正确答案2个错误答案.所以,所求概率P=.(2)乙同学的最佳选择是选择AD.理由如下:设乙同学
11、此题得分为X分,若乙同学仅选择AD,则X=4,X的数学期望E(X)=4;若乙同学选择3个选项,则他可能的答案为ABD,ACD,ADE,共3种.其中选择ABD,ADE,得分均为1分,其概率为;选择ACD,得分为5分,其概率为.所以数学期望E(X)=1+5=.由于4,所以乙同学的最佳选择是选择AD.5.(10分)世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长,某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况,随机抽查了该商店某天200名顾客的消费金额情况,得到如下频数分布表:消费金额/万卢布顾客人数0,19(1,231(2,336(3,444(4,562(5,618合计200将消费金额超过4万卢布
12、的顾客定义为”足球迷”,消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”.(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表).(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型,采用分层抽样的方法从“非足球迷”“足球迷”中选取5人,再从这5人中随机选取3人进行问卷调查,求选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望.【解析】(1)设这200名顾客消费金额的中位数为t,则有+(t-3)=0.5,解得t=,所以这200名顾客消费金额的中位数为.这200名顾客消费金额的平均数为,=0.5+1.5+2.5+3.5+4.5+5.5=3.365,
13、所以这200名顾客的消费金额的平均数为3.365万卢布.(2)由频率分布表可知,“足球迷”与“非足球迷”的人数比为=,采用分层抽样的方法,从“足球迷”“非足球迷”中选取5人,其中“足球迷”有5=2人,“非足球迷”有5=3人.设为选取的3人中非足球迷的人数,取值为1,2,3.则P(=1)=,P(=2)=,P(=3)= .分布列为:123P0.30.60.1E()=10.3+20.6+30.1=1.8.1.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意,取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=.2.已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2=_.【解析】由题意得,E(X)=x1+x2=,D(X)=+=,由得x1+x2=3.答案:3
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