1、15 平面直角坐标系中的距离公式1两点间的距离公式一般地，若两点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|x2x12y2y12.2点到直线的距离公式点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2.1在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？答案 直线方程应化为一般式2如何求两条平行直线间的距离？答案 转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离两条平行线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 之间的距离 d|C1C2|A2B2.题型一两点间距离公式的应用【典例 1】已知ABC 三顶点坐标 A(3,1)、B(3，
2、3)、C(1,7)，试判断ABC 的形状思路导引 先求出三边长度，再判断形状解 解法一：|AB|3323122 13，|AC|1327122 13，又|BC|1327322 26，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC 是等腰直角三角形解法二：kAC711332，kAB 313323，则 kACkAB1，ACAB.又|AC|1327122 13，|AB|3323122 13，|AC|AB|.ABC 是等腰直角三角形(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直
3、角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理针对训练 1 已知点 A(3,6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，求点 P 的坐标解 设点 P 的坐标为(x,0)，由|PA|10，得 x3206210，解得：x11 或 x5.所以点 P 的坐标为(5,0)或(11,0).题型二点到直线的距离【典例 2】求点 P(3，2)到下列直线的距离：(1)y34x14；(2)y6；(3)x4.思路导引 利用点到直线距离公式时，注意把直线化为一般式，对于特殊的直线，数列结合，求距离即可解(1)直线 y34x14化为一般式为 3x4y10，由点到直线的距离公式可
4、得d|33421|3242185.(2)因为直线 y6 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d|26|8.(3)因为直线 x4 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d|34|1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用(3)直线方程 AxByC0 中，A0 或 B0 公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解针对训练 2(1)点 P0(1,2)到直线 2xy100 的距离为()A.5B2 5C.3D2 3(2)已知点 M(1,4)到直线 l：m
5、xy10 的距离等于 1，则实数 m等于()A.34B34C43D.43解析(1)依题意，d|21210|22121052 5.选 B.(2)依题意，d|m41|m21|m3|m211，解得 m43，选 C.答案(1)B(2)C题型三两条平行直线间的距离【典例 3】已知直线 l1：3x2y10 和 l2：3x2y130，直线 l 与 l1，l2 的距离分别是 d1，d2，若 d1d221，求直线 l 的方程.思路导引 由题设知 l1l2，故 ll1l2，设出 l 的方程，利用距离公式表示出 d1，d2，进而求出直线方程解 由直线 l1，l2 的方程知 l1l2.又由题意知，直线 l 与 l1，
6、l2均平行(否则 d10 或 d20，不符合题意)设直线 l：3x2ym0(m1 且 m13)，由两平行线间的距离公式，得 d1|m1|13，d2|m13|13，又 d1d221，所以|m1|2|m13|，解得 m25 或 m9.故所求直线 l 的方程为 3x2y250 或 3x2y90.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：ykxb1，l2：ykxb2，且 b1b2 时，d|b1b2|k21；当直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d|C1C2|A
7、2B2，必须注意两直线方程中x，y 的系数对应相等针对训练 3 直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1l2，且 l1 与 l2 间的距离为 5，求 l1，l2 的方程解 若直线 l1，l2 的斜率存在，设直线 l1 与 l2 的斜率为 k，由斜截式得 l1 的方程为 ykx1，即 kxy10，由点斜式可得 l2 的方程为 yk(x5)，即 kxy5k0.在直线 l1上取点 A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距离 d|15k|1k25，25k210k125k225，k125.l1 的方程为 12x5y50，l2 的方程为 12x5y600.若直线 l1，l2
8、的斜率不存在，则 l1 的方程为 x0，l2 的方程为 x5，它们之间的距离为 5，满足条件则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600；l1：x0，l2：x5.题型四距离公式的综合应用【典例 4】求过点 M(1,2)，且与点 A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线 l 的方程思路导引 过点 M(1,2)的直线可以优先考虑点斜式，利用点A(2,3)，B(4,5)到直线的距离相等确定斜率，注意斜率不存在的情况，或者考虑数形结合，过 A(2,3)，B(4,5)的中点或与过 A(2,3)，B(4,5)两点直线平行解 解法一：当过点 M(1,2)的直线 l 的斜率不存
9、在时，直线 l 的方程为 x1，恰好与 A(2,3)，B(4,5)两点距离相等，故 x1 满足题意，当过点 M(1,2)的直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由点 A(2,3)与 B(4,5)到直线 l 的距离相等，得|2k3k2|k21|4k5k2|k21，解得 k13，此时 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.综上所述直线 l 的方程为 x1 或 x3y50.解法二：由题意得 lAB 或 l 过 AB 的中点，当 lAB 时，设直线 AB 的斜率为 kAB，直线 l 的斜率为 kl，则 kABkl 534213，此时直线 l 的方程为 y
10、213(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 的中点(1,4)时，直线 l 的方程为 x1.综上所述，直线 l 的方程为 x1 或 x3y50.利用点斜式求直线方程时，注意直线的斜率是否存在，利用数形结合解决问题时，一定把各种情况考虑全面针对训练 4(1)若点(4，a)到直线 4x3y0 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是_(2)已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_解析(1)由题意知|443a|42323，解得13a313，故 a 的取值范围为13，313.(2)过点 P(3,4)且斜率不存在时的直线 x3 与 A、B 两点的
11、距离不相等，故可设所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0，由已知得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或 k23，所求直线 l 的方程为2x3y180 或 2xy20.答案(1)13，313 (2)2xy20 或 2x3y1801两直线 3x4y20 与 6x8y50 的距离等于()A3B7 C.110D.12解析 在 3x4y20 上取一点0，12，其到 6x8y50的距离即为两平行线间的距离，d081256282 110.答案 C2已知点(a,1)到直线 xy10 的距离为 1，则 a 的值为()A1B1 C.2D 2解析 由题意知|a11|1212 1，即|a
12、|2，a 2.答案 D3已知点 M(1,2)，点 P(x，y)在直线 2xy10 上，则|MP|的最小值是()A.10B.3 55C.6D3 5解析 点 M 到直线 2xy10 的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为|221|2212 3 55.答案 B4已知点 A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则 a 的值为_解析 由题意得 a223125，解得 a1 或 a5.答案 1 或5与对称有关的最值问题在直线 l 上找一点 P 到直线异侧两定点 A、B 的距离之和最小，则点 P 必在直线 AB 上，所以要将 l 同侧的点利用对称转化为异侧的点在直线 l 上找一点 P 到直线同
13、侧两点 A、B 的距离之差最大，则点 P 必在线段 AB(或 BA)的延长线上，所以要将 l 异侧的点利用对称转化为同侧的点【示例】已知直线 l：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4)(1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|PB|最小；(2)在直线 l 上求一点 P，使|PB|PA|最大思路分析 数列结合，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解解(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)，则n0m22，m222n02 80，解得m2，n8，故 A(2,8)因为 P 为直线 l 上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当 B，P，A三点共线时，|PA|PB
14、|取得最小值为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，解x2，x2y80，得x2，y3，故所求的点 P 的坐标为(2,3)(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PB|PA|取得最大值为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，解yx2，x2y80，得x12，y10，故所求的点 P 的坐标为(12,10)题后反思(1)中心对称两点关于点对称：设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为 P2(2ax1,2by1)
15、，即 P 为线段 P1P2 的中点两直线关于点对称：设直线 l1，l2 关于点 P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另外一条直线上，必有 l1l2，且 P 到 l1、l2 的距离相等(2)轴对称两点关于直线对称：设 P1，P2 关于直线 l 对称，则直线 P1P2 与 l垂直，且 P1P2 的中点在 l 上针对训练 某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为 l：x2y100，若在河边l 上建一座供水站 P 使之到 A，B 两镇的管道最省，问供水站 P 应建在什么地方？此时|PA|PB|为多少？解 如图所示，过 A 作直线 l
16、的对称点 A，连接 AB 交 l 于P，因为若 P(异于 P)在直线 l 上，则|AP|BP|AP|BP|AB|.因此，供水站只能在点 P 处，才能取得最小值设 A(a，b)，则 AA的中点在 l 上，且 AAl，即a12 2b22 100，b2a112 1，解得a3，b6，即 A(3,6)所以直线 AB 的方程为 6xy240，解方程组6xy240，x2y100，得x3811，y3611.所以 P 点的坐标为3811，3611.故供水站应建在点 P3811，3611 处，此时|PA|PB|AB|342602 37.课后作业(二十二)(时间 45 分钟)学业水平合格练(时间 20 分钟)1两条
17、平行线 l1：3x4y20，l2：9x12y100 间的距离等于()A.75B.715C.415D.23解析 l1 的方程可化为 9x12y60，由平行线间的距离公式得 d|610|92122 415.答案 C2到直线 2xy10 的距离等于 55 的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0 或 2xy20D2xy0 或 2xy20解析 根据题意可设所求直线方程为 2xyc0，因为两直线间的距离等于 55，所以 d|c1|2212 55，解得 c0 或 c2，故所求直线方程为 2xy0 或 2xy20.答案 D3点 P(2,3)到直线：ax(a1)y30 的距离 d 为最大时，d与 a
18、的值依次为()A3，3B5,2 C5,1D7,1解析 直线恒过点 A(3,3)，根据已知条件可知当直线 ax(a1)y30 与 AP 垂直时，距离最大，最大值为 5，此时 a1.故选C.答案 C4已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,6)、B(4,3)、C(2，3)，则点 A 到 BC 边的距离为()A.92B.9 22C.2 55D4 3解析 BC 边所在直线的方程为 y333x424，即 xy10；则 d|21611|29 22.答案 B5已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值等于()A.79B13C79或13D79或13解析 由点到直线
19、的距离公式可得|3a41|a21|6a31|a21，化简得|3a3|6a4|，解得实数 a79或13.故选 C.答案 C6过点 A(4，a)和 B(5，b)的直线和直线 yxm 平行，则|AB|_.解析 因为 kABba54ba1，所以|AB|542ba2 2.答案 27 倾 斜 角 为 60，且 与 原 点 的 距 离 是 5 的 直 线 方 程 为_解析 因为直线斜率为 tan60 3，可设直线方程为 y 3xb，化为一般式得3xyb0.由直线与原点距离为 5，得|00b|32125|b|10.所以 b10.所以直线方程为 3xy100 或 3xy100.答案 3xy100 或 3xy10
20、08已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与直线 l2：2(k3)x2y30 平行，则 l1 与 l2 间的距离为_解析 l1l2，k322k34k0，214k30解得 k3 或 k5.当 k3 时，l1：y1，l2：y32，此时 l1 与 l2 间的距离为52；当 k5 时，l1：2xy10，l2：4x2y30，此时 l1 与 l2间的距离为|32|4222 510.答案 52或 5109直线 l 过原点，且点(2,1)到 l 的距离为 1，求 l 的方程解 由题意可知，直线 l 的斜率一定存在又直线 l 过原点，设其方程为 ykx，即 kxy0.由点(2,1)到 l 的距离为 1，得|
21、2k1|k211.解得 k0 或 k43.直线 l 的方程为 y0 或 4x3y0.10.如图，已知直线 l1：xy10，现将直线 l1 向上平移到直线l2 的位置，若 l2、l1 和坐标轴围成的梯形面积为 4，求 l2 的方程解 设 l2 的方程为 yxb(b1)，则图中 A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，|AD|2，|BC|2b.梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2 的距离，故 h|10b|2|b1|2 b12(b1)，由梯形面积公式得 2 2b2b12 4，b29，b3.但 b1，b3.从而得到直线 l2 的方程是 xy30.应试能力等级练(时间 25 分钟)11
22、两平行线分别经过点 A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离 d 满足的条件是()A0d5B0d13C0d12D5d12解析 当两平行线与 AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以 0d13.答案 B12若动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点距离的最小值为()A3 2B2 C.2D4解析 由题意，知点 M 在直线 l1 与 l2 之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为 xyc0，则|c7|2|c5|2，即 c6，点 M 在直线 xy60 上，点 M 到原点的距离的最小值就是原点到
23、直线 xy60 的距离，即|6|2 3 2.答案 A13已知 x，yR，S x12y2 x12y2，则 S 的最小值是_解析 S x12y2 x12y2可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为 2.答案 214已知点 A(1,1)、B(2,2)，点 P 在直线 y12x 上，则当|PA|2|PB|2取得最小值时点 P 的坐标为_解析 设 P(2t，t)，则|PA|2|PB|2(2t1)2(t1)2(2t2)2(t2)210t218t1010t295t1 10t 9102 910，当 t 910时，|PA|2|PB2|取得最小值，即 P95，910.答案
24、 95，91015已知直线 l 经过点 A(2,4)，且被平行直线 l1：xy10 与l2：xy10 所截得的线段的中点 M 在直线 xy30 上求直线 l 的方程解 解法一：点 M 在直线 xy30 上，设点 M 坐标为(t,3t)，则点 M 到 l1、l2 的距离相等，即|t3t1|2|t3t1|2，解得 t32，M32，32.又 l 过点 A(2,4)，由两点式得y32432x32232，即 5xy60，故直线 l 的方程为 5xy60.解法二：设与 l1、l2 平行且距离相等的直线 l3：xyc0，由两平行直线间的距离公式得|c1|2|c1|2，解得 c0，即 l3：xy0.由题意得中点 M 在 l3 上，又点 M 在 xy30 上解方程组xy0，xy30 得x32，y32.M32，32.又 l 过点 A(2,4)，故由两点式得直线 l 的方程为 5xy60.解法三：由题意知直线 l 的斜率必存在，设 l：y4k(x2)，由y4kx2xy10得x2k5k1，yk4k1直线 l 与 l1、l2 的交点分别为2k3k1，3k4k1，2k5k1，k4k1.M 为中点，M2k4k1，2k4k1.又点 M 在直线 xy30 上，2k4k1 2k4k1 30，解得 k5.故所求直线 l 的方程为 y45(x2)，即 5xy60.
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