1、高二201718第一学期第二次考试数学试卷（文科）第卷（选择题，共60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合P=x|1x1，Q=x|0x2，那么PQ=（）A. （1，2） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，2）【答案】A【解析】集合，那么 故选.2. 命题“x0，都有x2x+30”的否定是（）A. x0，使得x2x+30 B. x0，使得x2x+30C. x0，都有x2x+30 D. x0，都有x2x+30【答案】B【解析】命题都有的否定是：使得故选3. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”
2、，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为，总面积为，而阴影区域的边长为面积为，故飞镖落在阴影区域的概率为故答案选4. 在ABC中，“AB”是“sinAsinB”成立的（）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，在中，由于,必有若都是锐角，显然有“”成立，若之一
3、为锐角，必是为锐角，此时有不是钝角，由于，必有，此时有综上，中，“”是“”成立的充分条件。研究，若不是锐角，显然可得出，若是锐角，亦可得出综上，在中，“”是“”成立的比要条件。综合知，在中，“”是“”成立的充分必要条件故选5. 在等差数列中，若，则的值为（）A. 20 B. 22 C. 24 D. 28【答案】C【解析】在等差数列中，,故答案选C6. 在ABC中，三个内角所对的边为，若， ，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由正弦定理得即为的内角，,为的内角,故答案选7. 已知双曲线的焦点为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意可
4、知故答案选C8. 阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（）A. 10072 B. 10082 C. 10092 D. 20102【答案】C【解析】由程序框图可知：故答案选9. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A. 6 B. 10 C. 12 D. 20【答案】A【解析】平面,故答案选10. 若，则的最小值为（ ）A. 6 B. 12 C. 16 D. 24【答案】C【解析】试题分析：，当且仅当，即时等号成立，故选C考点：基本不等式11. 是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C.
5、 D. 【答案】B【解析】为等边三角形，不妨设为双曲线上一点，为双曲线上一点,由在中运用余弦定理得：,故答案选点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。12. 已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的图象如图：关于的方程有个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根，由函数图象可知令,方程化为,开口向下，对称轴为可知，的最大值为,的最小值为故答案选点睛：运用换元法，令，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围。函数零点问题转化为函数问题。第卷（非选择题，共90分）二
6、、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13. 已知向量=（2，2），向量=（2，1），则向量在向量方向上的投影为_【答案】-【解析】由题意可知在方向上的投影为故答案为14. 若x，y满足约束条件，则z=3x4y的最小值为_【答案】-1【解析】由得，作出不等式对应的可行域（阴影部分）平移直线，由平移可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时取得最小值，将的坐标代入即目标函数的最小值为故答案为15. 某城市2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示.据此估计2017年该城市人口总数_年份(年)01234人口数y(十万)5781119（参考数据和公式: ）【答案】35.6【解析】，故关于的
7、线性回归方程为当时，16. 已知数列满足，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是_【答案】9，+）【解析】由得，则，是以2为首项，1为公差的等差数列，代入得即，由不等式得点睛：本题综合性较强，在数列中如果遇到的形式，可以采用取倒数的方法求通项，然后将问题转化为关于的函数关系式，利用基本不等式求得范围。三、解答题（本题共6题，17题10分，18-22各12分，解答题需写出必要步骤，否则不给分）17. 已知椭圆C的两个焦点是F1（2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长【
8、答案】(1)(2)【解析】试题分析：由题意可得椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为,由题意可得求得,即可得到所求椭圆方程。求出直线的方程，代入椭圆方程，设，运用韦达定理，由弦长公式计算即可得到所求值。解析：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（ab0），由题意可知，a=3，b=椭圆的标准方程为=1（2）直线l的方程为y=x+2，联立方程组，得14x2+36x9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，|PQ|=|x1x2|=18. 已知函数（）的最小正周期和单调递增区间；（）已知a，b，c是ABC三边长，且f（C）=2，ABC的面积S=，c=7求角C及a，b的
9、值【答案】(1)， 函数f（x）的递增区间是+k， +k，kZ；(2) a=8，b=5或a=5，b=8【解析】试题分析：解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间。由，根据第一问确定出的解析式求出的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将值代入求出的值，利用余弦定理列出关系式，将代入求出的值，联立即可求出的值。解析：（）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，=2
10、，T=；令+2k2x+2k，kZ，得到+kx+k，kZ，则函数f（x）的递增区间是+k，+k，kZ；（）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，S=10，absinC=ab=10，即ab=40，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即49=a2+b2ab，将ab=40代入得：a2+b2=89，联立解得：a=8，b=5或a=5，b=819. 设数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】(1)(2)【解析】试题分析：利用数列递推关系即可得出。,利用裂项求和方法即可得出。解析：（1）数列an满足a1
11、+3a2+（2n1）an=2nn2时，a1+3a2+（2n3）an1=2（n1）（2n1）an=2an=当n=1时，a1=2，上式也成立an=（2）=数列的前n项和=+=1=点睛：求数列的通项时，可以运用，本题的条件左边可以看成和的形式，遇到,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。20. 命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数命题r：a满足（1）若pq是真命题且pq是假题求实数a的取值范围（2）试判断命题p是命题r成立的一个什么条件【答案】(1) 1a或a1；(2) 充分不必要条件【解析】试题分析：利用判别式求出为真时的取值范围，根据指数函数的图象与性质求出为真时的取值范围，由
12、是真命题且是假命题知一真一假，由此求出的范围。解不等式得出命题为真时的取值范围，根据集合的包含关系判断命题是命题成立的充分不必要条件。解析：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集为，=（a1）24a20，即3a2+2a10，解得a1或a，p为真时a1或a；又函数y=（2a2a）x为增函数，2a2a1，即2a2a10，解得a或a1，q为真时a或a1；（1）pq是真命题且pq是假命题，p、q一真一假，当P假q真时，即1a；当p真q假时，即a1；pq是真命题且pq是假命题时，a的范围是1a或a1；（2），10，即，解得1a2，a1，2），p为真时1a，由1，）是1，2）的真子集，pr，且rp，
13、命题p是命题r成立的一个充分不必要条件点睛：在条件中，或时一真就为真，且一假即为假，可先计算出都为真命题时的取值范围，然后根据要求再求得范围。21. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD（1）求证：EF平面PAD；（2）求三棱锥CPBD的体积【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：解：（）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在CPA中，EF/PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，EF/平面PAD（）取AD的中点M，连接PM，PA=PD，PMAD，又平面PAD平面ABCD，平面P
14、AD平面ABCD=AD，PM平面ABCD.在直角PAM中，求得PM=， PM=考点：空间中线面平行，锥体的体积点评：解决的关键是根据线面平行的判定定理来得到证明，同事能结合等体积法来求解几何体的体积，是常用的转换方法，属于基础题。22. 已知椭圆C：（ab0）的离心率为，且过点（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程【答案】(1) (2) OAB面积的最大值为，此时直线方程y=x1【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论当k不存在时，当k存
15、在时，设直线为y=kx+m，A，B，将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程试题解析：（1）由题意可得，e=，a2b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为；（2）当k不存在时，x=时，可得y=，SOAB=；当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m23=0，x1+x2=，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=2，当且仅当9k2=即k=时等号成立，可得SOAB=|AB|r2=，即有OAB面积的最大值为，此时直线方程y=x1考点：椭圆方程及性质及直线与椭圆相交的综合问题
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