1、数学高考资源网 数学能力训练（77）高考资源网例1：在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点。将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成的度数为（ ） A 90 B 60 C 45 D 0思路分析 将三角形折成三棱锥以后，HG与IJ为一对异面直线。过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD。所以ADF即为所求。故HG与IJ所成角为60简要评述 本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的
2、标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例2：正六棱柱ABCDEF-ABCDEF的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线ED与BC所成的角是（ ）A 90 B 60 C 45 D 30思路分析 连接FE、FD，则由正六棱柱相关性质得FE/BC。在中，EF=ED=1，。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=。是等边三角形。即BC与DE所成的角为60。简要评述 本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法。例3：如图，在底面边长为2的正三棱锥VABC中，E是BC的中点，若的面积是，则侧棱VA与底面所成的角的大小为：_ （结果用反三角函数值表示）。思路分析 作VO垂直A
3、E，由正三棱锥VABC得O为中心。则AE=2=，得VO=tanVAO=，得VA与底面所成的角的大小为arctanVABCE简要评述 本题主要考查正三棱柱的性质及直线与平面所成的角的作法与求法。PABCDO例4：若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小为：_ （结果用反三角函数值表示） 思路分析 设棱锥的高为h，如图则V=，D为BC的中点，OD=易证为侧面与底面所成二面角的平面角，故。简要评述 本题主要考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算。例5：关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：（1）可能是0的角；（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；
4、（5）可能是180的角。其中正确判断的序号是： （注：把你认为是正确判断的序号都填上）。思路分析 答案：1、2、3、4、5。简要评述 这是考核空间想象能力的问题。例6：如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。（1） 求证BC（2） 求面ASD与面BSC所成二面角的大小。SABCDS（3） 设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。DCBA思路分析 本题涉及到求二面角及异面直线所成角的问题，因此要先作出（找出）二面角的平面角及异面直线所成角，再求解。简要评述 本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
5、例7：已知正四棱柱ABCD-ABCD，如图，AB=1，AA=2，点E为CC的中点。ABCDEFA1B1C1D1ABCDEA1B1C1D1F（1） 证明：EF为BD与CC的公垂线；（2） 求点D到面BDE的距离。思路分析 证明公垂线问题与求点到面的距离采用建立适当的空间坐标系，利用空间向量来证明及求解比较适合。简要评述 本题主要考查正四棱柱的性质及运用空间向量解决问题的能力。 SACB例8：在三棱锥SABC中，且AC=BC=5，SB=5，如图。证明：SCBC；（1） 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（2） 求三棱锥的体积V。思路分析 由题意可以得是二面角的平面角，故在Rt 与Rt可求得。又由Rt可求得SA=，故可得V。高考资源网高考资源网答案高考资源网
