1、 A组学业达标1某次测量中，甲在乙的北偏东55，则乙在甲的()A北偏西35B北偏东55C南偏西35 D南偏西55答案：D2如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A100米 B50米C50米 D50(1)米解析：设ABx m，则由题意，D30，ACB45，在RtABC中，BCABx，在RtADB中，DBCDBC100x，所以DBAB，即100xx，解得x50(1) m.所以山AB的高度为50(1)米答案：D3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30
2、，在B点处的仰角为45，且AOB30，则建筑物的高度为()A20 m B20 mC20 m D40 m解析：设高OPh，则OAhtan 60h，OBhtan 45h.在AOB中，由余弦定理得402(h)2h22hhcos 30，解得h40.故选D.答案：D4在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为()A. BC. D.解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸则由题意知，sin ，又，.答案：C5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部
3、B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为()A20 m B30 mC40 m D60 m解析：如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20 m，OD20 m在RtAOD中，OAODtan 6060 m，ABOAOB40 m，故选C.答案：C6某人向正东方向走x km后向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_解析：如图所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30.由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，检验均符合题意答案：或27如图，小明同学在山顶
4、A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为_m/s(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)解析：由题意，AB200 m，AC100 m，由余弦定理可得BC100 m这辆汽车的速度为1001422.6 m/s.答案：22.68.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡走a m到B，又测得山顶P的仰角为，则山高为_ m.解析：在PAB中，BAP，APB，ABP180BAPAPB180()，ABa，由正弦定理可得PA.在RtPAQ
5、中，PQPAsin .答案：9在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，求该山峰的高度解析：如图所示，BED，BDC为等腰三角形，BDED600，BCDC200.在BCD中，由余弦定理可得cos 2，所以230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)即山峰高度为300 m.10.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛(1)求A，C两岛之间的距
6、离；(2)求BAC的正弦值解析：(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理得AC250230225030cos 1204 900，所以AC70(海里)故A，C两岛之间的距离为70海里(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sinBAC，故BAC的正弦值是.B组能力提升11一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45，从点A沿北偏东30方向前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m
7、D150 m解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在ABC中，BAC60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.答案：A12.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为()A600 m B600 mC200 m D200 m解析：在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦
8、定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，CDACtanDAC600600，故选A.答案：A13.如图所示，位于某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20 n mile的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A，C两处的距离为10 n mile，则该货船的航速为_n mile/h.解析：因为cos ，045，所以sin ，所以cos(45).在ABC中，BC280010022010340，所以BC2.故该货船的航速为4 n mile/h.答案：414我舰在岛A南偏西50相距12 n mile的B处发现敌舰
9、正从岛A沿北偏西10的方向以10 n mile/h的速度航行，若我舰要用2 h追上敌舰，则速度为_ n mile/h.解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v n mile/h，则在ABC中，AC10220(n mile)，AB12 n mile，BAC120，所以BC2AB2AC22ABACcos 120784，所以BC28 n mile，则速度v14(n mile/h)答案：1415.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，求建筑物的高度解析：设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别
10、由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.16.如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC.又，sinABC，又0ABC60，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得，sinBCD.又0BCD60，BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟