1、 A组学业达标1学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A30，则其跨度AB的长为()A12米B8米C3 米 D4 米解析：ABC为等腰三角形，A30，B30，C120，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C424224448，AB4米答案：D2已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离是()Aa km Ba kmC.a km D2a km解析：如图所示，在ABC中，ACB1802040120，ACBCa，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120
2、a2a22a23a2，ABa(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.答案：C3如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且ACB120，则A，B两点间的距离为()A. km B kmC1.5 km D2 km解析：根据余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos C，AB(km)故选A.答案：A4.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()海里每小时B20()海里每小时C20()海里每小
3、时D20()海里每小时解析：由正弦定理得，所以MN10()海里，速度为20()海里每小时答案：B5有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()A5 m B10 mC10 m D10 m解析：如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30，在ABB中，B30，BAB753045，AB10 m.在BAB中，由正弦定理，得BB10(m)所以坡底要延长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.答案：C6上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端
4、的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是_ m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知ACB120，且ACBC，过C作AB的垂线交AB于D，在RtCBD中，DB500 m，DCB60，BC m.答案：7一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65，港口A的南偏东70处，那么B，C两点的距离是_海里解析：如图，由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理可得BCsin 3010.答案：108某人从A处出发，沿北
5、偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为_ km.解析：如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150，由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地距离为7 km.答案：79.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？解析：由题意，在三角形ABC中，AB30，BAC30，ABC135，所以ACB15；由正弦定理得BCsinBACsin 3015()过点C作CDAB于点D，在RtBDC中，CDBC15(1)38.所以此船无触礁的危
6、险10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45方向，B在北偏东75方向，试求这两座建筑物之间的距离解析：依题意得，CD(km)，ADBBCD30BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC中，由正弦定理得BC(km)在ADC中，由正弦定理得AC3(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525.所以AB5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.B组能力提升11江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和3
7、0，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10米 B100米C30米 D20米解析：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45，A处观测小船D的俯角为30，连接BC，BD，在RtABC中，ACB45，可得BCAB30米，在RtABD中，ADB30，可得BDAB30米，在BCD中，BC30米，BD30米，CBD30，由余弦定理可得：CD2BC2BD22BCBDcos 30900，CD30(负值舍去)答案：C12如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180
8、(1) mC120(1) m D30(1) m解析：如图，在ADC中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)故选C.答案：C13甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_解析：设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 1202
9、8x220x10028(x2x)100282100当x(小时)(分钟)时，y2有最小值y最小答案：分钟14一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回到它的出发点，那么x_.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x(cm)即x的值为 cm.答案： cm15为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60方
10、向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间，该考点才算合格？解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米在ABC中，AB1.732，AC1，ABC30，由正弦定理sinACBAB，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1，在ACD中，ACAD，ACD60，ACD为等边三角形，CD1，605，在BC上需5分钟，CD上需5分钟答：最少需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格16.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？解析：在BCD中，BC31 km，BD20 km，CD21 km，由余弦定理得cosBDC.cosADC，sinADC.在ACD中，由条件知CD21 km，BAC204060，sinACDsin(60ADC).由正弦定理得，AD15(km)即此车距离A城15 km.