1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第七章 不等式 基本不等式 理（含2014试题）理数1. (2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案 1.B解析 1.依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),=2x1x2-=2=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则SABO+SAFO=2+=;当x1x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是SABO+SAFO=2(+)+=+2=3当且仅当=时
2、取“=”,而3.故选B.2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，4）已知实数满足，则的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）答案 2. C解析 2. 由得，所以.3. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，7) 若实数、满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案 3. A解析 3.因为，所以，所以，即；又因为，所以，所以的取值范围是.4. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（ ）A. 2 B. C. 4 D. 答案 4. B解析 4. 是互相垂直的单位向量，设，由，即，当且仅当时取等号，故的
3、最小值为.5. (2014四川,14,5分)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是_.答案 5.5解析 5.易知A(0,0),B(1,3),且PAPB,|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,|PA|PB|=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).6. (2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_(单位:元).答案 6.160解析 6.设底面的边长分别为x m,y m,总造价为T元,
4、则V=xy1=4xy=4.T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202=80+204=160.(当且仅当x=y时取等号)故该容器的最低总造价是160元.7. (2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+)上的函数,且f(x)0,对任意a0,b0,若经过点(a, f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.()当f(x)=_(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;()当f(x)=_(x0)
5、时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 7.()()x解析 7.()若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a, f(a),(,0),(b,-f(b)共线,=,=,可取f(x)=.()若Mf(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a, f(a),(b,-f(b)共线,=,化简得=,可取f(x)=x.8.(2014陕西,15(A),5分)A.(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为_.答案 8.解析 8.根据柯西不等式得=|ma+nb|=,当且仅当=(a2+b2=5,ma+n
6、b=5),即m=a=n=b=时取等号,故的最小值为.9.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 14) 已知均为正实数，且，则的最小值为_.答案 9. 9解析 9. 因为均为正数，且，所以，解得或（舍去），所以9，当且仅当时取等号.故的最小值为9.10. (2014广东广州高三调研测试，12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_. 答案 10.解析 10. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.11.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，13）若，则的最大值为 答案 11. 解析 11. (当且仅当时等号成立).12.（2014湖北八
7、校高三第二次联考数学（理）试题，12）已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则的最小值为 答案 12. 18解析 12. ，而，所以的最小值为18.13. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），10) 已知是内的一点，且，若，和的面积分别为，则的最小值是 . 答案 13. 18解析 13. 由已知得 ，即，而.14. (2014天津七校高三联考, 12) 若点(-2, -1) 在直线上，其中，则的最小值为 答案 14. 8解析 14. 点在直线上，即，又，当且仅当，即时取等号.故的最小值为8.15.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲
8、线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 答案 15. 解析 15. ，又，即的取值范围是.16.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.答案 16.查看解析解析 16.因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. （10分）D. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 21D) 已知均为正数,
9、证明：.证法一 因为均为正数，由均值不等式得，因为，所以 . （5分）故.又3，所以原不等式成立. （10分） 证法二 因为均为正数，由基本不等式得，.所以.同理，（5分）所以.所以原不等式成立. （10分）17. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 17) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）. （）求关于的函数关系式； （）已知在花坛的边缘(实线部分) 进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分
10、的装饰费用为9元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？答案 17.查看解析解析 17. 解析 （）设扇环的圆心角为q，则，所以，（4分） （）花坛的面积为.装饰总费用为，（9分）所以花坛的面积与装饰总费用的比，令，则，当且仅当t=18时取等号，此时.答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. （14分）(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)18. （本题满分12分）设关于不等式的解集为，且，. （1）, 恒成立，且，求的值；（2）若，求的最小值并指出取得最小值时的值.答案 18.查看解析解析 18.（1），即,，又 . (5分)（2）,当且仅当，即时上式取等号又所以，的最小值是，取最小值时 . (12分)8
