1、第2课时等比数列的性质内容标准学科素养1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来2.理解等比数列的性质并能应用3.掌握等比数列的性质并能综合应用.提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模授课提示：对应学生用书第38页基础认识知识点一等比数列的项与序号的关系知识梳理设等比数列an的公比为q.(1)两项关系：anamqnm(m，nN*)(2)多项关系：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(3)若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列，am，an，ap成等比数列即若mp2n，则aamap.(4)等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若
2、有中间项则等于中间项的平方)，即a1ana2an1akank1 (n为正奇数)知识点二等比数列的“子数列”的性质知识梳理若数列an是公比为q的等比数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；(2)奇数项数列a2n1是公比为q2的等比数列；偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列；(3)在数列an中每隔k(kN*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk1；(4)若an0，则是等比数列，公比为；(5)若an为等比数列，则数列a为等比数列，公比为q2；(6)若数列an是公比为q的等比数列，则数列是公比为的等比数列知识点三等比数列an的函数性质知识梳理(1
3、)an为公比是q的等比数列，ana1qn1qn，数列的点在函数yqx上(2)等比数列的单调性公比q单调性首项a1q10q1q1q0a10单调递增数列单调递减数列常数数列摆动数列a10单调递减数列单调递增数列自我检测1在等比数列an中，a1a21，a3a49，那么a4a5()A27B27或27C81 D81或81答案：B2在等比数列an中，若a1，a10是方程3x22x60的两根，则a4a7()A6 B2C2 D.答案：B授课提示：对应学生用书第38页探究一等比数列性质的应用阅读教材P68 B组1(1)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10(
4、)A12B10C8 D2log35解析：a5a6a4a72a5a618，a5a69.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a3a9a10)log3(a5a6)5log331010.故选B.答案：B例1在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，求数列an的通项公式解析由a4a7512，知a3a8512.解方程组得或因为q为整数，所以q2，所以ana3qn34(2)n3(1)n22n1.延伸探究1.将例1中条件“a4a7512，a3a8124，且公比为整数”改为“a7a116，a4a145”，则结果又如何？解析：因为数列an是等比数列，所以a4a14a7
5、a116，解方程组得或所以q或q .所以ana4qn42或an3.2将例1中等比数列满足的条件改为a4a72，a5a68，求a1a10.解析：因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78.联立可解得或当时，q3，故a1a10a7q37；当时，q32，同理，有a1a107.综上可得，a1a107.方法技巧利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量探究二等比数列的设项方法阅读教材P54第8题在9与243中间插入两个数，使它们成等比数列解析：设公比为q，首项a19，则
6、这四个数依次为9,9q,9q2,9q3，9q3243，q3，即这四个数为9,27,81,243.例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解析法一：设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为a，a，aq(a0)由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,
7、16或15,9,3,1.方法技巧合理地设出未知数是解决此类问题的技巧一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.若四个同号的数成等比数列，可设为，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.跟踪探究1.有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为8；后三个数依次成等差数列，它们的积为80，求这四个数解析：由题意，设这四个数为，b，bq，a，则解得或这四个数依次为1，2,4,10或，2，5，8.探究三等比数列的实际应用阅读教材P50例1方法步骤：(1)判断等比数列(2)写出已知条件的首项和公比(3)写通项公式及n的方程求解例3为了治
8、理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 20.3，最后结果精确到整数)解析设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1，经过n年后绿洲面积为an1，设2014年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1.依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化
9、的12%bn，an192%an12%(1an)an，即an1，a1，是以为首项，为公比的等比数列，ann1，ann1，则an1n，an150%，n，n，nlog 3.1，则当n4时，不等式n恒成立至少需要4年才能使绿化面积超过50%.方法技巧解等比数列应用题的一般步骤跟踪探究2.某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2
10、)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解析：(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n.令25n2225n4 750，得n29n1900，令f(n)n29n190，当f(n)0时，n119，n210，由二次函数的图象得n19或n10时，f(n)0，而n是正整数所以n10.故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn4001.08n1，由题意可知an0.85bn
11、，即250(n1)504001.08n10.85，满足不等式的最小正整数n6.故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.授课提示：对应学生用书第40页课后小结(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；若mn2t(m，n，tN*)，则amana进行求解(3)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：基本量法：利用等比数列的基
12、本量a1，q，先求公比，后求其他量这是解等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐数列性质：利用性质时要根据题意灵活选取素养培优1有关等比数列的“点列”问题解析几何背景下的数列问题，以下简称为“点列”问题，这类问题往往以解析几何的点、直线、曲线的无限运动为背景，融数列、解析几何知识为一体“点列”问题的主要解题步骤可分为三步：第一步是根据解析几何背景抽象出数列的递推关系式；第二步是在递推关系式的基础上求得数列的通项或分析通项的性质；第三步是由通项解决数列的其他问题如图所示，OBC的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的
13、中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn3为线段PnPn1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，anynyn1yn2.(1)求a1，a2，a3及an；(2)证明：yn41，nN*；(3)若记bny4n4y4n，nN*，证明：bn是等比数列解析：(1)因为y1y2y41，y3，y5，所以a1a2a32，又由题意可知yn3，则an1yn1yn2yn3yn1yn2ynyn1yn2an，所以an为常数列因此，有ana12，nN*.(2)证明：将等式ynyn1yn22两边除以2，得yn1，又yn4，得yn41.(3)证明：bn1y4n8y4n4(y4n4y4n)bn，又b1y8y40，因此
14、，bn是公比为的等比数列2忽视等比数列中奇、偶项符号致误已知7，a1，a2，1四个实数成等差数列，4，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则_.易错分析忽视等比数列中b2与4同号，而出现b22或b22的错误自我纠正法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有73d1，4q41，解得d2，q2，所以a2a1d2，b24q242，所以1.法二：因为7，a1，a2，1四个实数成等差数列，所以a2a1(1)(7)2，因为4，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，所以4，b2，1成等比数列，所以b(4)(1)4，所以b22或b22，由b4b20知b20，所以b22，所以1.答案：13变形中
15、忽略项的变化而致错在数1和100之间插入n个实数，使得这(n2)个数构成递增的等比数列，将这(n2)个数的乘积记作Tn，再令anlg Tn，n1.求数列an的通项公式易错分析解决此题时，一些同学可能会由题设及对数运算想到先构建an的递推关系，再求其通项公式，得到错解自我纠正法一：设在1和100之间插入n个实数构成的递增的等比数列的公比为q，则qn1100，所以Tn1qq2qn100100q10n2.故anlg Tnn2.法二：设在1和100之间插入n个实数构成的递增的等比数列的公比为q.由题意得到Tn1qq2qn100，则Tn100qnq2q1.，再根据等比数列性质，得(Tn)2100n2102n4，又Tn0，从而Tn10n2，anlg Tnn2.